Зображення частковими підстановками скінченної симетричної інверсної напівгрупи ISn. Поняття імпримітивного підстановочного зображення групи. Необхідна умова точності ефективного транзитивного зображення з обривом спадних ідемпотентних ланцюгів.
Оскільки, з точністю до ізоморфізму, напівгрупами перетворень вичерпуються всі напівгрупи, теорію напівгруп можна розглядати як абстрактну теорію перетворень. Хоча перші роботи про напівгрупи датуються самим початком XX століття (Сегьє, Діксон) і навіть кінцем XIX століття (у роботі Г.Фробеніуса розглядався один спеціальний клас моногенних напівгруп), змістовна історія теорії напівгруп починається лише з кінця 20-их років минулого століття з робіт українського математика А.К.Сушкевича. В.В.Вагнер називав ці напівгрупи “узагальненими групами”, оскільки було встановлено ізоморфність кожної інверсної напівгрупи піднапівгрупі напівгрупи всіх часткових взаємно однозначних відображень деякої множини. Вже згадана теорема Вагнера-Престона вказує на те, що вивчення таких зображень (ми будемо називати їх зображеннями частковими підстановками множини) є природним для інверсних напівгруп. Використовуючи цю конструкцію описати усі ефективні транзитивні зображення моногенних інверсних напівгруп різних типів, скінченної симетричної інверсної напівгрупи ISN та напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору у термінах замкнених інверсних піднапівгруп.У вступі подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми, охарактеризовано наукову новизну одержаних результатів.Напівгрупу усіх часткових взаємно однозначних відображень деякої множини X в саму себе будемо називати інверсною симетричною напівгрупою на множині X, і позначати IS(X) або ISN, якщо n = | X | <Ґ. Через E(S) будемо позначати множину ідемпотентів напівгрупи S, а через E min (S) - множину усіх примітивних ідемпотентів інверсної напівгрупи S. Зображення j : S ® IS(X) інверсної напівгрупи S називають транзитивним на множині X, якщо для кожної пари x1, x2 О X існує часткова підстановка h О H множини X, що h (x1 ) = x2 ; і ефективним, якщо dom x = X. Нехай H - замкнена інверсна піднапівгрупа інверсної напівгрупи S, PH:= {(s, t )О S ґ S | st-1О H } - головна часткова права конгруенція, X - множина PH-класів, які надалі будемо називати правими w-класами. Зображення JH : S ® IS(X) інверсної напівгрупи S частковими підстановками множини X, де дія JH (S ) визначається правилом: для x О X і s О S XJH (s ) = (xs )w, називається зображенням напівгрупи S на правих w-класах за замкненою інверсною піднапівгрупою H.Зокрема розглядаються підстановочні зображення скінченної симетричної інверсної напівгрупи ISN, моногенних інверсних напівгруп та напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних перетворень скінченновимірного векторного простору. З її допомогою здійснено повний опис замкнених інверсних піднапівгруп у моногенних інверсних напівгрупах різних типів, у скінченній симетричній інверсній напівгрупі ISN та у напівгрупі PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору V. Для опису замкнених інверсних піднапівгруп у моногенних інверсних напівгрупах встановлюються властивості піднапівгрупи ідемпотентів для кожного типу моногенної інверсної напівгрупи. Дано опис з точністю до еквівалентності усіх ефективних транзитивних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів; отримано критерій еквівалентності двох ефективних транзитивних зображень на множинах правих w-класів за замкненими інверсними піднапівгрупами для напівгруп ISN та PGL(V). Отримано критерій точності зображення інверсної симетричної напівгрупи ISN та напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору V на множині правих w-класів за замкненою інверсною піднапівгрупою; встановлено, що усі точні ефективні транзитивні зображення цих напівгруп еквівалентні.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
Вывод
Дисертаційна робота присвячена вивченню зображень інверсних напівгруп частковими підстановками. Зокрема розглядаються підстановочні зображення скінченної симетричної інверсної напівгрупи ISN, моногенних інверсних напівгруп та напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних перетворень скінченновимірного векторного простору.
Описано конструкцію побудови усіх замкнених інверсних піднапівгруп із найменшим ідемпотентом у довільній інверсній напівгрупі. З її допомогою здійснено повний опис замкнених інверсних піднапівгруп у моногенних інверсних напівгрупах різних типів, у скінченній симетричній інверсній напівгрупі ISN та у напівгрупі PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору V. Для опису замкнених інверсних піднапівгруп у моногенних інверсних напівгрупах встановлюються властивості піднапівгрупи ідемпотентів для кожного типу моногенної інверсної напівгрупи.
Встановлено умови, які повинні задовольняти замкнені інверсні піднапівгрупи, для того, щоб ефективні транзитивні зображення інверсної напівгрупи на множинах правих w -класів за цими піднапівгрупами були еквівалентними. Дано опис з точністю до еквівалентності усіх ефективних транзитивних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів; отримано критерій еквівалентності двох ефективних транзитивних зображень на множинах правих w -класів за замкненими інверсними піднапівгрупами для напівгруп ISN та PGL(V).
Доведено, що два зображення моногенної інверсної напівгрупи за різними власними замкненими інверсними піднапівгрупами еквівалентні лише тоді, коли обидві піднапівгрупи містять лише ідемпотенти. Отримано критерій еквівалентності зображень моногенної інверсної напівгрупи на множинах правих w -класів за ідемпотентними замкненими інверсними піднапівгрупами.
Встановлено необхідну умову точності ефективного транзитивного зображення інверсної напівгрупи, що задовольняє умову обриву спадних ідемпотентних ланцюгів. Вона дозволила суттєво звузити область пошуку точних ефективних транзитивних зображень інверсних напівгруп різних типів. Дано опис усіх точних ефективних транзитивних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів. Отримано критерій точності зображення інверсної симетричної напівгрупи ISN та напівгрупи PGL(V) усіх часткових лінійних відображень скінченновимірного векторного простору V на множині правих w -класів за замкненою інверсною піднапівгрупою; встановлено, що усі точні ефективні транзитивні зображення цих напівгруп еквівалентні.
Узагальнено поняття імпримітивного підстановочного зображення групи на випадок інверсної напівгрупи. Дано опис усіх примітивних підстановочних зображень моногенних інверсних напівгруп різних типів, напівгруп ISN та PGL(V) у термінах замкнених інверсних піднапівгруп.
Отримані результати можуть бути використані при подальшому дослідженні різних інверсних напівгруп, а також при вивченні зображень частковими підстановками інверсних напівгруп, що задовольняють більш загальні умови.
Автор щиро вдячна своєму науковому керівникові доценту Ганюшкіну Олександру Григоровичу за постійну увагу та підтримку в роботі.
РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Волошина Т.В. Ефективні транзитивні зображення скінченної інверсної симетричної напівгрупи //Вісник Київського Університету. Математика і механіка. - 1998. - Вип.2. - С.16-21.
