Знакозмінні функції Ляпунова в теорії диференціальних рівнянь - Автореферат

Початком нового циклу досліджень стала робота А.М.Самойленка, в якій введено поняття функції Гріна (Гріна-Самойленка) задачі про інваріантні тори лінійного розширення динамічної системи. Дослідження множин знакозмінних функцій Ляпунова в теорії регулярних на осі лінійних систем диференціальних рівнянь і лінійних розширень динамічних систем на торі є досить перспективною і актуальною темою, оскільки ці дослідження дають можливість відповідати на питання величини збурення, яке не порушує властивості регулярності лінійних систем і лінійних розширень динамічних систем на торі. Слід зазначити, що результати, отримані в даному напрямку, мають досить важливе значення не тільки в теорії інваріантних і інтегральних многовидів, а також в теорії оптимального керування і теорії автоматичного регулювання. Виділити і дослідити класи лінійних розширень динамічних систем, які залишаються регулярними при будь-яких збуреннях фазових змінних і при цьому не існує квадратичної форми з постійними коефіцієнтами, яка має знаковизначену похідну в силу відповідної системи. Знайти необхідні і достатні умови регулярності лінійних канонічних систем диференціальних рівнянь і відповідних лінійних розширень динамічних систем на торі.Якщо ж відомо тільки те, що система (2) має принаймні одну функцію (3) з оцінкою (4), то цю систему називають слаборегулярною. У випадку, коли відомо, що система (2) має безліч різних функцій Гріна-Самойленка, таку систему називають строго слаборегулярною. Якщо в квадратичній формі (5) матриця коефіцієнтів S постійна і виконується умова (6), тобто a[SA(j) AT(j)S]x,xn?||x||2, (10) то при довільних фіксованих вектор-функціях a(j)ICLIP(Tm) система (2) буде регулярною. Виникло питання: чи завжди буде існувати постійна матриця S, для якої виконується умова (10), якщо відомо, що система (2) є регулярною при будь-якій фіксованій вектор-функції a(j)ICLIP(Tm)? A(j), що система (2) буде регулярною при будь-якій фіксованій вектор-функції a(j), і в той же час не існує постійної симетричної матриці S, для якої виконувалась би умова (9).Дисертаційну роботу присвячено вивченню питань існування і інтегрального представлення функцій Ляпунова для лінійних систем диференціальних рівнянь, а також для лінійних розширень динамічних систем. У роботі отримано наступні нові результати: · Встановлено, що існують лінійні розширення динамічних систем на торі, які є регулярними при довільних фіксованих вектор-функціях a(j)ICLIP(Tm) і, в той же час, для них не існує квадратичних форм з постійними коефіцієнтами, які мають знаковизначену похідну. · Для лінійних розширень динамічних систем на торі знайдено класи матриць · Досліджено властивість регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі, нормальні змінні яких записано в канонічному вигляді. В термінах двох функцій Ляпунова знайдено нові умови регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі та лінійних систем диференціальних рівнянь.

Основний зміст

Дисертаційну роботу присвячено вивченню питань існування і інтегрального представлення функцій Ляпунова для лінійних систем диференціальних рівнянь, а також для лінійних розширень динамічних систем. У роботі отримано наступні нові результати: · Встановлено, що існують лінійні розширення динамічних систем на торі, які є регулярними при довільних фіксованих вектор-функціях a(j)ICLIP(Tm) і, в той же час, для них не існує квадратичних форм з постійними коефіцієнтами, які мають знаковизначену похідну.

· Для лінійних розширень динамічних систем на торі знайдено класи матриць A(j) таких, що при довільних фіксованих вектор-функціях a(j)ICLIP(Tm) відповідна система є регулярною і зберігає цю властивість при розширенні кількості фазових змінних.

· Досліджено множини квадратичних форм, що зображуються в інтегральному вигляді, залежних від двох різних додатно визначених симетричних матриць. Встановлено, що для спряжених до строго слабо регулярних систем множини з двома симетричними матрицями є більш широкими, ніж множини з однією матрицею.

· Досліджено властивість регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі, нормальні змінні яких записано в канонічному вигляді. В термінах двох функцій Ляпунова знайдено нові умови регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі та лінійних систем диференціальних рівнянь.

Одержані результати і методика доведень мають, в основному, теоретичне значення. Строге математичне обґрунтування цих результатів визначає їх достовірність. Результати, отримані в даному напрямку, мають досить важливе значення в теорії інваріантних і інтегральних многовидів, в теорії автоматичного регулювання та в інших областях науки і техніки.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

1. Кулик Н.В. Знакозмінні функції Ляпунова і функція Гріна-Самойленка лінійних розширень динамічних систем // Нелінійні коливання. 2000. 3, №3. С. 383 - 389.

2. Самойленко А.М., Степаненко Н.В. Про деякі властивості поведінки лінійних розширень динамічних систем на торі при збуренні фазових змінних // Укр. мат. журн. 2002. 54, №3. С. 408 - 412.

3. Stepanenko N.V. On some properties of the set of Lyapunovs functions in the theory of linear extensions of dynamical systems on the torus // Nonlinear Oscillations. 2001. 4, Num.4. P. 539 - 546.

4. Кулик В.Л., Степаненко Н.В. Про властивість регулярності деяких лінійних розширень динамічних систем на торі // Укр. мат. журн. 2002. 54, №4. С. 568 - 574.

5. Кулик Н.В., Кулик В.Л. Про властивість регулярності на осі деяких лінійних систем диференціальних рівнянь. // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка (мат., мех.). 2002. Вип. 7 - 8. С. 33 - 37.

6. Степаненко Н.В. Регулярні на осі лінійні системи диференціальних рівнянь: Препр./ НАН України. Ін-т математики; 2002.4. К.:2002. 47 с.

7. Самойленко А.М., Кулик В.Л., Кулик Н.В. Сохранение свойства регулярности линейного расширения динамической системы на торе при возмущениях // Тез. II Междунар. конф. “Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры” (Актобе, 15-19 жовтня 1999). С. 47.

8. Кулик Н.В. Збереження регулярності при збуренні фазових змінних для лінійних розширень динамічних систем на торі // Український математичний конгрес - 2001: Тези доп. (додатковий том) (Київ 21 - 23 серп. 2001 р.). Київ, 2001. С. 12.

9. Степаненко Н.В. Вигляд квадратичних форм для регулярних лінійних систем диференціальних рівнянь // Девята Міжнародна Наукова Конференція ім. акад. М. Кравчука (Київ 16 - 19 трав. 2002 р.). Київ, 2002. С. 192.

10. Кулик В.Л., Степаненко Н.В. Функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі // Тезисы VI Крымской Международной математической школы МФЛ. 2002. Крым, Алушта, 2002. С. 82.