Збіжності, ергодичні теореми і зображувальність в алгебрах вимірних функцій та операторів - Автореферат

Сучасна теорія операторних алгебр, і зокрема алгебр необмежених операторів, активно розвивається та займає одне з чільних місць у дослідженнях з алгебри, функціонального аналізу, теорії зображень тощо. (1991) було виявлено, що довільна-алгебра , у якої є *-підалгеброю в , що виділяє *-алгебри у класі-алгебр. Дисертаційну роботу присвячено дослідженню структурних властивостей *-алгебр вимірних,-вимірних і локально вимірних операторів, вивченню різних збіжностей у цих алгебрах (за мірою, майже скрізь, порядкових), доведенню аналогів індивідуальної ергодичної теореми в просторах вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана, аналогів домінантної ергодичної теореми в симетричних просторах вимірних операторів, приєднаних до комутативної алгебри фон У дисертаційній роботі вперше отримано такі результати: - досліджено питання про співвідношення між алгеброю фон Неймана , *-алгеброю вимірних операторів, *-алгеброю ?-вимірних операторів й *-алгеброю локально вимірних операторів, зокрема доведено необхідні та достатні умови, за яких ці алгебри попарно рівні між собою; Чіліним, до дисертації ввійшли результати, що належать особисто автору: теореми про співвідношення між алгеброю фон Неймана , *-алгеброю вимірних операторів і *-алгеброю локально вимірних операторів, теореми про *-алгебри ?-вимірних операторів, теореми про двосторонню збіжність за мірою і майже скрізь, порядкові збіжності, локальні збіжності за мірою і майже скрізь, теорема про порядкову збіжність середніх Чезаро для абсолютних стисків просторів ; з робіт [9, 12, 13, 27], написаних спільно з Б.А.Ми обмежуємося переліком тих результатів цієї теорії, які необхідні для подальшого викладення результатів дисертації, зокрема, фактів, що стосуються структури всіх проекторів алгебр фон Неймана та класифікації таких алгебр. У розділі 2 досліджуються порядкові властивості *-алгебр вимірних, - ?-вимірних і - локально вимірних операторів, приєднаних до алгебри фон Неймана . , де - алгебра фон Неймана типу , а - фактори типу , , і - певне натуральне число (деякі з доданків можуть бути відсутніми). У § 2.4 досліджуються *-алгебри ?-вимірних операторів, асоційовані з різними точними нормальними напівскінченними слідами на алгебрі фон Неймана . У § 3.3 досліджуються порядкові збіжності (-збіжність і-збіжність) в *-алгебрі вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана знайдено властивості цих збіжностей і розглядається питання про співвідношення між цими збіжностями та збіжностями за мірою і майже скрізь.У дисертаційній роботі отримано необхідні та достатні умови, за яких алгебра фон Неймана , *-алгебри вимірних операторів, *-алгебри-вимірних операторів і *-алгебри локально вимірних операторів попарно рівні між собою. Побудовано клас прикладів алгебр фон Неймана, для яких існують вимірні оператори, що не є-вимірними для жодного точного нормального напівскінченного сліду . Доведено аналог індивідуальної ергодичної теореми про порядкову збіжність середніх Чезаро для абсолютних стисків просторів , , вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана .

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У дисертаційній роботі отримано необхідні та достатні умови, за яких алгебра фон Неймана , *-алгебри вимірних операторів, *-алгебри -вимірних операторів і *-алгебри локально вимірних операторів попарно рівні між собою. Побудовано клас прикладів алгебр фон Неймана, для яких існують вимірні оператори, що не є -вимірними для жодного точного нормального напівскінченного сліду . Досліджено різні збіжності послідовностей і сіток операторів з і , та співвідношення між ними. Виявилося, що одностороння збіжність майже скрізь, двостороння збіжність майже скрізь і збіжність за мірою співпадають тоді і лише тоді, коли алгебра фон Неймана атомічна. Доведено, що для зростаючої послідовності позитивних вимірних операторів порядкова обмеженість і обмеженість у топології збіжності за мірою еквівалентні.

Доведено аналог індивідуальної ергодичної теореми про порядкову збіжність середніх Чезаро для абсолютних стисків просторів , , вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана . Ця теорема являє собою часткове розвязання проблеми Ф.Йедона (1977) про збіжність майже скрізь середніх Чезаро для довільного оператора . Отримано ряд аналогів домінантної ергодичної теореми в симетричних просторах вимірних операторів, приєднаних до комутативної алгебри фон Неймана, для різних типів ергодичних нерівностей; зокрема, доведено аналог домінантної ергодичної теореми в просторах Орліча.

Доведено, що існує загальний сильно щільний лінійний підпростір обмежених векторів двох вимірних самоспряжених операторів і що два самоспряжених вимірних оператора комутують як елементи алгебри тоді і лише тоді, коли вони сильно комутують. Не існує зображень канонічних комутаційних співвідношень у формі Г. Вейля й у формі В.Гейзенберга в жодній алгебрі локально вимірних операторів.

1. Муратов М. А., Чилин В. И. Алгебры измеримых и локально измеримых операторов //

Праці Ін-ту математики НАН України. - Київ. - 2007. - 397 с.

2. Муратов М. А. Сходимость почти всюду и по мере в кольце измеримых операторов // Математический анализ и геометрия. Сборник научных трудов. - Вып. 623. - Ташкент. -

1980. - С. 47 - 52.

3. Муратов М. А. Условие фундаментальности идеальных подпространств измеримых операторов // Математический анализ и теория вероятностей. Сборник научных трудов. - Вып. 689. - Ташкент. - 1982. - С. 37 - 40.

4. Муратов М. А. Несимметричные идеальные подпространства измеримых операторов // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Сборник научных трудов. - Ташкент. - 1984. - С. 56 - 60.

5. Муратов М. А. Топогенный порядок в группе сходи мости // Математический анализ и теория вероятностей. Сборник научных трудов. - Ташкент. - 1984. - С. 81 - 87.

6. M. A. Muratov Order properties of convergent sequences of unbounded measurable operators affiliated to a finite von Neumann algebra // Methods Funct. Anal. Topology. - 2002. - V. 8. - № 3.- P. 50 - 60.

7. Муратов М. А. Различные виды сходимости в кольцах измеримых операторов // Уч. записки ТНУ. Математика, механика, информатика и кибернетика. - 2002. - Т. 15 (54). - № 2. - с. 49 - 61.

8. Муратов М. А. Некоторые вопросы сходи мости последовательностей неограниченных операторов, присоединенных к конечной алгебре фон Неймана // Функ. Анализ: Труды Украинского Математич. Конгресса - 2001. - Киев: Ин-т математики НАН Украины - 2002. - C. 161 - 175.

9. Муратов М. А., Пашкова Ю. С. Рубштейн Б. А. Некоторые свойства последовательностей положительных сжатий в симметричных пространствах измеримых функций // Труды математического факультета. - Вып. 7. - Воронеж. - 2002. - С. 87 - 88.

10. Муратов М. А., Чилин В. И. Сходимость почти всюду и (o)-сходимость в кольцах измеримых операторов, присоединенных к конечной алгебре фон Неймана // Укр. мат. журнал. - 2003. - Т. 55, № 9. - С. 1196 - 1205.

11. Муратов М. А., Чилин В. И. Порядковая сходимость в индивидуальной эргодической теореме для некоммутативных пространств измеримых операторов // Уч. записки ТНУ. Математика, механика, информатика и кибернетика. - 2003. - T. 16 (55), № 1. -

С. 17 - 22.

12. Муратов М. А., Пашкова Ю.С., Рубштейн Б. А. Доминантная эргодическая теорема в симметричных пространствах измеримых функций для последовательностей абсолютних сжатий // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. - 2003. - Т. 16(55), № 2. - C. 36 - 48.

13. Муратов М. А., Рубштейн Б. А. Аналоги доминантной эргодической теоремы в перестановочно-инвариантных пространствах измеримых функций // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. - 2004. - Т. 17(56). - № 1. -

C. 59 - 67.

14. Муратов М. А., Чилин В. И. *-Алгебры измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Доповіді НАН України. - 2005. - № 9. - С. 28 -30.

15. Муратов М. А., Чилин В. И. *-Алгебры неограниченных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Записки научных семинаров ПОМИ. - Санкт Петербург, 2005. - Т. 326. - С. 183 - 197.

16. Муратов М. А. *-Алгебры $\tau$-измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. - 2005. - Т. 18(57), № 1. - C. 64 - 72.

17. Muratov M. Convergences almost everywhere and locally almost everywhere in *-algebras of locally measurable operators // H.A.I.T. Journal of Science and Engineering. Series C: Mathematics and Computer Science. - Holon, 2007. - V.4. - Issue 1-2. - P. 203 - 220.

18. Муратов М. А. К вопросу о коммутируемости локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Інформатика и кибернетика. - 2006. - Т. 19(58), № 2. - C. 52 - 62.

19. Муратов М. А., Чилин В. И. К вопросу об определении некоммутативного пространства измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Динамические системы. Межведомственный научный сборник. - Симферополь, 2007. - Вып.22. - C. 115 - 139.

20. Муратов М. А., Самойленко Ю. С. О коммутируемости измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. - 2007. - Т. 20(59), № 1. - C. 70 - 79.

21. Muratov M. A., Chilin V. I. *-Algebras of Unbounded Operators Affiliated with a von Neumann Algebra // Journal of Mathematical Sciences. - 2007. - Vol.140, No 3. - P. 445 - 451.

22. Муратов М. А. О коммутируемости локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Динамические системы: Межведомственный научный сборник. - Симферополь, 2007. - Вып.23. - C. 73 - 86.

23. Muratov M. A., Galinsky D. V. On Representations of Algebras Generated by Sets of Three and Four Orthoprojections // Spectral and Evolutionary Problems. Proceedings of the Eighth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.8. - Simferopol: Tavria, 1998. -P. 15 - 22.

24. Muratov M. A. Convergence Almost Eeverywhere in *-Algebras of Locally Measurable Operators // Spectral and Evolutionary Problems: Proceedings of the Fifteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. - Simferopol, 2004. - Vol.15. - P. 76 - 85.

25. Муратов М. А. Непрерывность алгебраических операций в кольце измеримых операторов, присоединенных к конечной алгебре фон Неймана, относительно двусторонней сходимости почти всюду // Таврический вестник информатики и математики. - 2003. - № 2. - С. 57 - 66.

26. Муратов М.А.,Чилин В.И. Сходимости в *-алгебрах локально измеримых операторов // Таврический вестник информатики и математики. - 2004 - № 2. С. 81 - 100.

27. Муратов М. А., Пашкова Ю. С. Доминантная эргодическая теорема в пространствах Орлича измеримых функций на полуоси // Таврический вестник информатики и математики. - 2006. - № 2. - С. 47 - 59.

28. Муратов М. А. Односторонняя и двусторонняя сходимости почти всюду в кольце измеримых операторов // XV Воронежская зимняя математическая школа: Тезисы докладов. - Воронеж, 1981. - С. 68.

29. Муратов М. А., Чилин В. И. Сходимость почти всюду и порядковая сходимость последовательностей самосопряженных измеримых операторов // Спектральные и эволюционные задачи: Тезисы докладов второй Крымской осенней математической школы-симпозиума. - Симферополь, 1993. - Вып. 2. - С. 61 - 62.

30. Муратов М. А., Пашкова Ю. С., Рубштейн Б. А. Некоторые свойства положительных сжатий в симметричных пространствах // Международная конференция по функціональному анализу: Тезисы докладов (Киев, Украина, Август 22-26, 2001). - Киев, 2001. - С. 85.

31. Муратов М. А., Чилин В. И. Сходимость почти всюду и локально почти всюду в кольце измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Воронежская зимняя математическая школа - 2002. - Воронеж: ВОРГУ, 2002. - С. 57 - 58.

32. Muratov M. A., Chilin V. I., Pashkova Yu. S. Order convergence of measurable operators and martingale convergence in finite von Neumann algebras // International Conference on Functional Analysis and its Applications: Book of Abstracts (Lviv, Ukraine, May 28-31, 2002). - Lviv, 2002. - P. 49 - 50.

33. Muratov M., Pashkova Yul. Order convergence in the ergodic theorem for the noncommutative spaces of measurable operators // International Conference: Representation Theory, Dynamical Systems, and Asymptotic Combinatorics: Book of Abstracts (St. Petersburg, June 8-13, 2004). - St. Petersburg, 2004. - P. 18 - 19.

34. Muratov M. Billaterally convergences almost everywhere and locally almost everywhere in *-algebras of locally measurable operators // Operator Algebras and Quantum Probability: Abstracts of the International Conferences (Tashkent, September 7-10, 2005). - Tashkent, 2005. - P. 127 - 128.

35. Muratov M., Chilin V. Order convergence in *-algebras of locally measurable operators // International Conference: Modern Analysis and Applications: Book of abstract (Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007). - Kyiv, 2007. - P. 100 - 101.

36. Муратов М. А. *-Алгебры ?-измеримых операторов // Международная конференция: Дифференциальные уравнения и смежные вопросы (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И. Г. Петровского): Тезисы докладов (Москва, Россия, 21-26 мая, 2007). - М.: Изд-во МГУ, 2007. - С. 201 - 202.

37. Муратов М. А., Пашкова Ю. С. Инвариантные подпространства конечных наборов измеримых операторов // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна - 2008. - Воронеж: ВОРГУ. - 2008. - С. 107.

38. Муратов М. А., Самойленко Ю. С. О коммутационных соотношениях в алгебрах измеримых операторов // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна - 2008. - Воронеж: ВОРГУ. - 2008. - С. 107 - 108.