Застосування незростаючих переставлень для одержання оцінок норм функцій у деяких функціональних просторах через їх коефіцієнти Фур’є за ортонормованими системами. Лакунарні підсистеми тригонометричної системи. Використання інтерполяційних методів.
При низкой оригинальности работы "Збіжність рядів за деякими ортонормованими системами та коефіцієнтні оцінки", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Основи загальної теорії ортогональних рядів були закладені на початку нашого століття, коли помітили, що цілий ряд властивостей рядів за тригонометричною системою може бути перенесений на інші системи функцій, спираючись тільки на умову ортогональності. Меншовим і, незалежно від нього, Радемахером був одержаний перший фундаментальний результат: знайдений точний множник Вейля для збіжності майже всюди рядів за ортонормованими системами, що послугувало відправною точкою для багатьох інших досліджень. Проте до цього часу існує дуже мало результатів, які б визначали такі, досить загальні умови на ортонормовану систему, що дозволяли б підсилити цей результат. Перші оцінки норм функцій у просторах Лебега через їх коефіцієнти Фурє за тригонометричною системою були одержані Хаусдорфом і Юнгом, а також, дещо пізніше, Харді і Літтлвудом у 20-і роки. В дисертації: введено новий клас ортонормованих систем, який є розширенням відомого класу Sp - систем, та знайдені множники Вейля для збіжності та безумовної збіжності майже всюди рядів за системами даного класу;Система F= {fn(x)} називається Sp-системою , якщо існує стала с, така, що для будь-якого поліному за системою F Більш того, оскільки при будь-якому переставленні функцій ортонормованої системи , Sp - система залишається Sp-системою, то можна стверджувати, що з умови a?k=1 ak2 <? випливає безумовна збіжність ряду (1). Ортонормовану систему F= {fn(x)} на відрізку [0,1] будемо називати-системою, якщо існує така стала С, що для будь-якого поліному Як природне узагальнення поняття Sp-системи вводимо клас S(p,L)-систем наступним чином. ортонормована система F= {fn(x)} (FKILP[0,1], 2<p<?) називається S(p,L)-системою, якщо знайдеться така стала с, що для всякого поліному Нехай F= {fn(x)} - ортонормована S(p,L)-система на відрізку [0,1], 20 . Тоді послідовність wn=ln2 e (e ln) є множником Вейля для збіжності майже всюди рядів за системою F.У першому розділі нашої роботи ми ввели новий клас S(p,L)-систем, який є поширенням відомого класу Sp-систем. Основним результатом цього розділу є твердження про те, що при будь-якому e>0 послідовність {ln2 e (e ln)} є множником Вейля для збіжності майже всюди рядів за будь-якою S(p,L)-системою. У другому розділі наші результати стосуються оцінок норм функцій через їх коефіцієнти Фурє. Нам вдалося поширити відомі теореми Пелі та Стейна, щодо оцінок норм функцій у просторах Лебега та Лоренца, на ортонормовані системи з ВМО.
План
2. Основний зміст
Вывод
У першому розділі нашої роботи ми ввели новий клас S(p,L)-систем, який є поширенням відомого класу Sp-систем. Основним результатом цього розділу є твердження про те, що при будь-якому e>0 послідовність {ln2 e (e ln)} є множником Вейля для збіжності майже всюди рядів за будь-якою S(p,L)-системою. Більш того, ця послідовність є також множником Вейля для безумовної збіжності майже всюди. Таким чином встановлено таке, досить загальне, обмеження на ортонормовану систему, яке дозволяє в деяких частинних випадках підсилити твердження відомої теореми Ердеша-Стечкіна.
Нам не вдалося зясувати, чи залишиться згадане твердження вірним при e=0. Це питання може бути метою подальших досліджень.
У другому розділі наші результати стосуються оцінок норм функцій через їх коефіцієнти Фурє. Нам вдалося поширити відомі теореми Пелі та Стейна, щодо оцінок норм функцій у просторах Лебега та Лоренца, на ортонормовані системи з ВМО.
Ми довели, що для ортонормованих систем, у яких норми в L? не є обмеженими у сукупності, не справджується гіпотеза, щодо підсилення відомої теореми Марцинкевича-Зігмунда, яку висунув Буллін на початку 50-х років.
Застосуванням оцінок незростаючих переставлень одержані нові оцінки норм функцій у просторах Лоренца через їх коефіцієнти Фурє за загальними ортонормованими системами, та двоїсті їм оцінки коефіцієнтів Фурє. Доведено остаточність, в деякому сенсі, означених результатів.
В останніх розділах роботи ми отримали нові оцінки коефіцієнтів Фурє для функцій із класів Орлича, вагових просторів Lp, загальних симетричних просторів. Зазначимо, що методи дослідження в цій частині роботи також базуються на оцінках незростаючих переставлень. Такий підхід виявився ефективним для одержання нових коефіцієнтних оцінок норм функцій у різних функціональних просторах.
Список литературы
1. Кириллов С.А. О теореме Марцинкевича-Зигмунда//Матем. заметки.-1998.-Т. 63.-№ 3.-С. 386-390.
2. Кириллов С.А. О множителях Вейля для некоторых классов ортонормированных систем //Изв. вузов. Матем.-1994.- № 7.-C. 28-34.
3. Kirillov S.A. Some estimates for orthonormal systems from BMO//Acta Sci. Math. (Szeged).-1998.-V. 64.-P. 223-230.