Застосування симетричних многочленів - Курсовая работа

Важливе місце в курсі алгебри посідають симетричні многочлени та, зокрема, застосування симетричних многочленів при розвязуванні рівнянь, систем рівнянь, вилучення коренів, доведення тотожностей, звільнення від ірраціональності у дробах тощо. Він сформулював і довів кілька теорем про взаємозвязки між коренями і коефіцієнтами рівнянь, зокрема, й теорему про зведене квадратне рівняння (теорема Вієта). Перший розділ «Теоретичні положення про симетричні многочлени та їх властивості» складається з двох параграфів.Серед найбільш важких завдань на розвязання систем рівнянь вищих степенів є наступні: Усі ці системи мають одну загальну властивість - ліві частини рівнянь є многочленами, у які x і y входять однаковим способом. Многочлен від x і y називають симетричним, якщо він не змінюється при заміні x на y, та y на x. Симетричний многочлен - многочлен від n змінних F(x1, x2, …, xn), що не змінюється при всіх перестановках змінних. Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри R [x1, x2, …, xn] многочленів від n змінних над кільцем R. Навпаки, многочлен x3 - 3y2 не є симетричним: при заміні x на y, а y на x він перетворюється на многочлен y3 - 3x2, який не збігається з первинним.Але другий з цих многочленів повинен містити член (3), бо його дістаємо з члена (2) заміною на і навпаки. Але з умови випливає, що член (5) вищий за член (4), тобто член (4) не може бути вищим у многочлені. Теорема1 (Основна теорема теорії симетричних многочленів): Всякий симетричний многочлен f (x1, x2, …, xn) від п змінних над полем Р можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій цих змінних, коефіцієнти якого належать тому самому полю Р. Якщо ж даний многочлен симетричний, то й кожний складовий однорідний многочлен повинен бути симетричний, бо при переставлянні змінних x1, x2, …, xn кожний член може перейти лише в член того самого степеня, тобто в інший член того самого однорідного складового многочлена. За лемою, вищий член цього многочлена дорівнює добутку вищих членів многочленів (причому піднесення до степеня слід розглядати як множення однакових многочленів).Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, ліві частини яких симетрично залежать від невідомих x, y. Необхідність такої заміни невідомих полягає в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються (оскільки є многочленом другої степені від x, y). (**) повязані один з одним таким чином: якщо z1, z2 - корні квадратного рівняння (*), то система (**) має два розвязки: і інших розвязків не має; якщо x = a, y = b - розвязки системи (**), то числа a і b є коренями квадратного рівняння (*). Те, що інших розвязків система (**) не має, витікає з останнього твердження теореми, яке ми зараз доведемо. Отже, тобто для первинних невідомих x, y ми отримуємо наступну систему рівнянь : Ця система рівнянь легко розвязується, і ми отримуємо наступний розвязок первинної системи: Приклад 2.За основною теоремою симетричних многочленів, кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від, Таблиця 2. Легко побачити, що усі змінні в такий одночлен повинні входити в одному і тому ж степені, тобто цей одночлен повинен збігатися з добутком (взятий з деяким числовим коефіцієнтом). Позначимо через O - многочлен з найменшим числом членів, одним із доданків, якого є одночлен, цей многочлен має назву орбіта. Для отримання орбіти одночлена необхідно додати до нього одночлени отримані за допомогою перестановок змінних x, y, z. З цього легко отримати вирази орбіт O(xkyl) через за умови, що У таблиці 2.3 наведені вирази деяких орбіт O(xkyl) через , Таблиця 2.3 Вирази орбіт O(xkyl) черезСиметричні многочлени дозволяють розвязати багато важких завдань про звільнення від ірраціональності в знаменнику. У разі, коли знаменник має вигляд або цю задачу можна вирішити і без застосування симетричних многочленів. Покладемо Тоді знаменник є не чим іншим, як елементарним симетричним многочленом Спробуємо підшукати множник, після множення на який знаменник вдасться виразити через статечні суми s2 і s4. Оскільки ці степеневі суми мають вигляд знаменник стане раціональним виразом. Переносячи його в ліву частину, отримуємо: , Звідки: Поклавши знаходимо: Ми бачимо, таким чином, що якщо знаменник дробу має вигляд , то після множення чисельника і знаменника на виразУ якості «нульових наближень» виберемо довільні додатні числа і додамо до них число Обчислимо тепер елементарні симметричні многочлени від чисел a ,які складають нульове наближення, і в якості першого наближення візьмемо числа Добуток усіх чисел першого наближення дорівнює тобто так як і раніше дорівнює N. Тепер складемо елементарні симетричні многочлени від чисел ,які складають перше наближення, і по ним так само знайдемо наступне, друге, наближення: Добуток всіх чисел другого наближення знову рівний N. Потім по числах другого наближення складемо третє наближення Можна довести, що при кожна з величин що складає n-те наближення, прямує до .У курсовій роботі було розглянуто способи розвязувань систем рівнянь і приклади їх розвязання; бул

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ ПРО СИМЕТРИЧНІ МНОГОЧЛЕНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

1.1 Загальні поняття про симетричний многочлен

1.2 Властивості симетричних многочленів

РОЗДІЛ ІІ. ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ

2.1 Розвязування систем рівнянь

2.2 Доведення тотожностей

2.3 Звільнення від ірраціональності

2.4 Вилучення коренів

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ