Застосування методу потенціалів до розв’язання параболічних задач спряження - Автореферат

Встановлення класичної розвязності згаданих задач з використанням методу теорії потенціалів дозволяє представляти шукані розвязки в інтегральній формі, що має важливе значення у застосуванні теорії параболічних рівнянь при вивченні актуальних проблем механіки, теорії теплопровідності, теорії випадкових процесів та інших галузей математики і фізики. Підсумовуючи викладені там результати, можна зробити висновок, що на даний час методом теорії потенціалу достатньо повно вивчені початково-крайові задачі для рівномірно параболічних рівнянь і систем таких рівнянь, лише у випадку, коли порядок диференціальних крайових операторів менший, ніж порядок рівняння, що розглядається в області. Однак у застосуваннях зустрічаються задачі для лінійного параболічного рівняння другого порядку, що приводять до крайових умов, які містять похідні другого або вищого порядків. Вентцелем, то і відповідні крайові задачі для параболічних рівнянь називаються задачами Вентцеля або задачами з крайовою умовою Вентцеля. Мовою класичного аналізу ця задача формулюється як задача спряження для лінійного параболічного рівняння другого порядку з розривними коефіцієнтами.У першому розділі наведено ймовірнісні постановки проблем, що приводять до параболічної початково-крайової задачі Вентцеля та її узагальнення - задачі спряження для лінійного параболічного рівняння другого порядку з розривними коефіцієнтами, зроблено огляд праць, які стосуються теми дисертаційної роботи. У другому розділі за допомогою методів теорії потенціалу встановлено класичну розвязність у просторі Гельдера параболічної початково-крайової задачі Вентцеля, що розглядається в обмеженій циліндричній області з гладкою бічною межею. В основі доведення теореми 2.2 лежить редукція поставленої задачі до інтегрального рівняння Вольтерри I роду, перетворення його за допомогою спеціального інтегро-диференціального оператора до еквівалентного рівняння Вольтерри II роду та розвязання останнього методом послідовних наближень. Якщо припустити a priori, що , то у цьому рівнянні його коефіцієнти та права частина належать до класу . Що стосується випадку, коли межа області - елементарна гіперповерхня з класу , то тут шляхом введення розпрямляючого перетворення змінних задача про побудову регуляризатора для рівняння (14) зводиться до попередньої, а в загальному випадку при визначенні використовується атлас-вимірного многовиду , побудованого за допомогою розбиття одиниці, тобто побудова оператора є локальною з використанням ф.р. для оператора, який є слідом оператора (без молодших членів) на в локальних внутрішніх координатах.Дисертація присвячена вивченню методом класичної теорії потенціалу початково-крайових задач та задач спряження для загального лінійного параболічного рівняння другого порядку з граничною умовою, а у випадку задачі спряження - з умовою спряження типу Вентцеля. Основні результати дисертації є, взагалі кажучи, нетривіальними узагальненнями відомих для рівномірно параболічних рівнянь результатів, що стосувалися крайових задач, в яких порядок диференціальних крайових операторів менший, ніж порядок рівняння. З використанням методу теорії потенціалу встановлено умови існування та єдиності класичного розвязку з класу Гельдера параболічної задачі спряження, в якій одна з умов спряження визначається диференціальним крайовим оператором типу Вентцеля.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Дисертація присвячена вивченню методом класичної теорії потенціалу початково-крайових задач та задач спряження для загального лінійного параболічного рівняння другого порядку з граничною умовою, а у випадку задачі спряження - з умовою спряження типу Вентцеля. Такого типу задачі є важливими як з точки зору застосувань у теорії випадкових процесів, так і в теорії рівнянь з частинними похідними.

Основні результати дисертації є, взагалі кажучи, нетривіальними узагальненнями відомих для рівномірно параболічних рівнянь результатів, що стосувалися крайових задач, в яких порядок диференціальних крайових операторів менший, ніж порядок рівняння.

В роботі отримані такі результати: 1. За допомогою методу теорії потенціалу доведена теорема про класичну розвязність у просторі Гельдера параболічної початково-крайової задачі з граничною умовою Вентцеля.

2. Побудовано інтегральне зображення розвязку задачі Коші для лінійного рівномірно параболічного рівняння другого порядку на многовиді, яким є гіперповерхня.

3. З використанням методу теорії потенціалу встановлено умови існування та єдиності класичного розвязку з класу Гельдера параболічної задачі спряження, в якій одна з умов спряження визначається диференціальним крайовим оператором типу Вентцеля.

4. За допомогою аналітичних методів доведена теорема про існування напівгрупи операторів, що описує дифузійний процес в області із загальною крайовою умовою Вентцеля.

5. Побудовано клас дифузійних процесів, для яких колмогорівські локальні характеристики руху - вектор переносу і матриця дифузії - існують в класичному сенсі і є кусково-неперервними функціями.

Одержані результати і методика доведень мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватися при подальших дослідженнях крайових задач (задач спряження) для лінійних рівномірно параболічних рівнянь другого або вищих порядків з крайовими умовами (умовами спряження) тих самих порядків, а також в теорії випадкових процесів при вивченні узагальнених дифузійних процесів.

1. Kopytko Bohdan I., Tsapovska Zhanna J. Diffussion processes with discountiouns local characteristics of the movement // Theory of Stochastic Processes. - 1998. - 4(20), N 1-2. - P. 139-146.

2. Цаповська Ж.Я. Розвязання методом потенціалів одної параболічної задачі спряження у нециліндричній області // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1999. - 42, № 2. - С. 39-46.

3. Цаповська Ж.Я. Розвязання методом потенціалів параболічної початково-крайової задачі з оператором типу Вентцеля в умові спряження // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1999. - 42, № 3. - С. 66-74.

4. Kopytko B.I., Tsapovska Zh. Ya. Integral Representation of an Operator Semigroup Describing a Diffusion in a Domain with Wentzels Boundary Conditon // Theory of Stochastic Processes. - 1999. - 5(21), № 3-4. - P. 105-112.

5. Копитко Б.І., Цаповська Ж.Я. Метод потенціалів в параболічній крайовій задачі з граничною умовою Вентцеля // Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична. 2000. - Вип. 56. - C. 106-115.

6. Цаповська Жаннета. Розвязання одної параболічної задачі спряження методом потенціалів // Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки і математики”, присвячена 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я.С. Підстригача та 25-річчю заснованого ним ІППММ (Львів, 25-28 травня, 1998 р.): Матеріали. - Львів, 1998. - С. 234.

7. Kopytko B.I., Tsapovska Zh. Ya. Integral Representation of a Semigroup that Describes a Diffusion in Domain with a Boundary Wentzel Conditon // The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics (June, 8 - 12, 1999): Book of Abstracts. - Kyiv: 1999. - P. 64.

8. Tsapovska Zh. Ya. Solving parabolic initial-boundary problem with boundary Wentzel condition by potential method // International Conference Dedicated by J.P. Schauder "Nonlinear Partial Differential Equations" (Ukraine, Lviv, August 23-29, 1999): Book of abstracts. - Lviv, 1999. - P. 206.

9. B.I. Kopytko, Zh.Ya. Tsapovska. Analytical method for constructing a diffusion process with generalized drift vector localized on a hyper-surface // International Conference on Functional Analysis and its Applicatuions Dedicated to the 110 th anniversary of Stefan Banach (Ukraine, Lviv, May 28-31, 2002): Book of abstracts. - Lviv, 2002. - P. 113-114.

10. Копитко Б.І., Цаповська Ж.Я. Багатовимірна модель дифузії з мембраною, розташованою на фіксованій гіперповерхні, властивості якої описуються загальною крайовою умовою Вентцеля // International Conference Modern Problems and New Trends in Probability Theory (Chernivtsi, Ukraine, June 19-26, 2005): Abstracts, I. - Chernivtsi, 2005. - P. 126-127.

11. Копитко Б.І., Цаповська Ж.Я. Процеси дифузії в середовищі з мембраною, властивості якої описуються загальною крайовою умовою Вентцеля // Міжнародна конференція памяті В.Я. Буняковського (1804-1889) (16-21 серпня 2004, Київ): Тези доповідей. - Київ, 2004. - С. 77-78.

12. Цаповська Ж.Я. Розвязання параболічної задачі Вентцеля методом граничних інтегральних рівнянь // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня - 3 липня 2004, Чернівці, Україна): Тези доповідей. - Чернівці, 2004. - С. 114-115.

Размещено на .ru