Застосування групового аналізу при розв’язанні нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними - Автореферат

Це приводить до необхідності розглядати нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними, оскільки лінійні рівняння, як спрощені математичні моделі, не задовольняють сучасні вимоги практики. Проте, з математичної точки зору, дослідження нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними є складною задачею, що зумовлено відсутністю, на відміну від лінійних рівнянь, загального методу їх дослідження. Останнім часом широкого розповсюдження набули теоретично-алгебраїчні методи дослідження диференціальних рівнянь, особливе місце серед яких займає груповий аналіз диференціальних рівнянь. Було запропоновано сучасне викладення і розширення теорії Лі та новий (неліївський) метод дослідження групових властивостей диференціальних рівнянь з частинними похідними. Мета цієї роботи - дослідження теоретично-групових властивостей нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними і побудова на їх основі інваріантно-групових розвязків задач, що розглядаються.У першому розділі розглядаються класичні і спеціальні постановки нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Найбільш загальна математична модель визначення скалярного температурного поля твердого тіла представляє собою нелінійну еволюційну задачу для диференціального рівняння з частинними похідними: (1) Розглядаються постановки задачі променевої теплопровідності від джерела миттєвої дії та задачі весняно-літнього прогрівання відкритого водного середовища морів та океанів. 1.2 розглядаються математичні моделі процесів дифузії, що відбуваються у відкритому водному (морському чи океанічному) середовищі на прикладі спрощеної екосистеми Чорного моря, яке представляє собою важливий та унікальний обєкт дослідження у звязку з його географічним місце розташуванням, необхідністю раціонального використання його харчових, сировинних та водних ресурсів та вирішенням проблем екології. Відсутність принципу суперпозиції для нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними не дозволяє створити будь-яку загальну теорію дослідження цих рівнянь, чи загальний метод їх розвязку.Розглянуто і класифіковано різні постановки нелінійних еволюційних задач теплопровідності і дифузії. Запропоновано підхід до дослідження нелінійних крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними на основі теорії груп Лі перетворень. Досліджено умови інваріантності і встановлено необхідні і достатні умови існування та єдності інваріантно-групових розвязків нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Досліджено інваріантність і виконано редукцію одновимірних нелінійних еволюційних задач розподілу солоності морської води і сезонного перерозподілу її температури та турбулентної дифузії речовини від постійно діючого рухомого джерела. Досліджено теоретично-групові властивості конкретних одновимірних нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними у випадку шаруватих середовищ.

. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

1. Розглянуто і класифіковано різні постановки нелінійних еволюційних задач теплопровідності і дифузії. Розглядаються методи інтегрування нелінійних крайових задач для рівнянь параболічного типу.

2. Запропоновано підхід до дослідження нелінійних крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними на основі теорії груп Лі перетворень.

3. Досліджено умови інваріантності і встановлено необхідні і достатні умови існування та єдності інваріантно-групових розвязків нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

4. Досліджено інваріантність і виконано редукцію одновимірних нелінійних еволюційних задач розподілу солоності морської води і сезонного перерозподілу її температури та турбулентної дифузії речовини від постійно діючого рухомого джерела.

5. Виконано груповий аналіз одновимірних нелінійних еволюційних задач променевої теплопровідності та електродинаміки. Одержано їх точні інваріантно-групові розвязки. алгебраїчний рівняння математика

6. Досліджено теоретично-групові властивості конкретних одновимірних нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними у випадку шаруватих середовищ. Знайдено аналітичні інваріантно-групові розвязки.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В НАСТУПНИХ РОБОТАХ

Нетесова А.М. Об инвариантности краевой задачи для нелинейного эволюционного уравнения. // Укр. мат. журн. - 1998. - 50, №9. - С. 1281-1283.

Нетесова А.М. Инвариантная редукция задачи турбулентной диффузии // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. - с. 162-164.

Нетесова А.М. Применение группового анализа при решении одной эволюционной задачи. // Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1997. - С. 167-169.

Нетесова А.М. Инвариантные решения задачи лучистой теплопроводности // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1996. - С. 211-213.

Нетьосова А.М. Симетричні розвязки однієї крайової задачі для лінійного параболічного рівняння // Всеукр. наук. конф. “Нові підходи до розвязання диференціальних рівнянь”: Тези доп. - 1997. - С. 80.

Нетьосова А.М. Теоретично-групова редукція деякої нелінійної крайової задачі // Сьома міжнар. наук. конф. ім. Академіка М. Кравчука. Матеріали конф. - Київ, 1998. - С. 364.

Нетесова Т.М., Нетесова А.М. Исследование инвариантной разрешимости краевых задач // Задачи со свободными границами и нелокальные задачи для нелинейных параболических уравнений. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1996. - С. 35-38.

Нетесова Т.М., Нетесова А.М. Инвариантно-групповые решения некоторой краевой задачи для стратифицированных сред // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений математической физики. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1997. - С. 220-225.

Размещено на .ru