Законы больших чисел - Реферат

Простейшая форма закона больших чисел - теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными. Теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. Из теоремы следует, что среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.(Отбрасывание этого предположения приводит к задаче о разорении игрока, которая всегда интригует изучающих теорию вероятностей.) Во-вторых, предположим, что игрок не имеет нрава прервать игру, когда ему заблагорассудится: число п испытаний должно быть фиксировано заранее и не должно зависеть от хода игры. Иначе игрок, осчастливленный неограниченным капиталом, дождался бы серии удач и в подходящий момент прекратил бы игру. Такого игрока интересует не вероятное колебание в заданный момент, а максимальные колебания в длинной серии партий, которые описываются скорее законом повторного логарифма, чем законом больших чисел . Если перед каждым повторением игрок уплачивает за право участия в игре (не обязательно положительный) взнос , то п представляет собой общий уплаченный им взнос, a Sn - п общий чистый выигрыш. В этом случае закон больших чисел дополняется центральной предельной теоремой, а последняя говорит о том, что весьма правдоподобно, что при «безобидной» игре чистый выигрыш в результате продолжительной игры Sn - п будет иметь величину порядка n1/2 и что при достаточно больших п этот выигрыш будет с примерно равными шансами положительным или отрицательным.При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными. Закон "больших чисел" объединяет совокупность теорем, которые формулируют условия, при которых большое количество случайных величин (например, их сумма) утрачивают случайный характер и приобретают определенную закономерность.

Содержание

Введение

1. Закон "больших чисел"

2. Доказательство закона больших чисел

3. Закон «безобидных» игр

Заключение

Список литературы

случайный величина событие вероятность закон

Для решения многих практических задач необходимо знать комплекс условий, благодаря которому результат совокупного воздействия большого количества случайных факторов почти не зависит от случая. Данные условия описаны в нескольких теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Простейшая форма закона больших чисел - теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

1. Закон "больших чисел"

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.

При изучении теории вероятностей приходится использовать понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний могут наблюдаться определенные закономерности. Эти закономерности, свойственные массовым случайным явлениям, и изучает теория вероятностей. Следует отметить, что математические законы теории вероятностей получены в результате абстрагирования реальных ситуаций, в которых наблюдаются случайные массовые явления.

При изучении результатов наблюдений над реальными случайными массовыми явлениями также имеют место некоторые закономерности. Следует обратить внимание на то, что они обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной.

Предельные теоремы теории вероятностей, теоремы Муавра-Лапласа объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Природа эта состоит в том, что предельным распределением числа появлений события при неограниченном возрастании числа испытаний (если вероятность события во всех испытаниях одинакова) является нормальное распределение.

Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение нормального закона распределения. Теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом.

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.

В основе качественных и количественных утверждений закона больших чисел лежит неравенство Чебышева. Оно определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания больше некоторого заданного числа. Замечательно, что неравенство Чебышева дает оценку вероятности события для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и дисперсия.

Неравенство Чебышева.

Если случайная величина Х имеет конечные математическое ожидание М(Х) и дисперсию Д(Х), то для любого положительного e справедливо неравенство

Данное неравенство имеет большое теоретическое значение. С его помощью доказываются теоремы и делаются теоретические выводы.

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых случайных величин Х1, Х2, Х3, ..., Xn, дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа e справедливо неравенство

Из теоремы следует, что среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.

Теорема Чебышева имеет большое практическое применение. Она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот. Так, измеряя какой-либо параметр с помощью прибора, не дающего систематической погрешности, можно получить достаточно большое число результатов измерений, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет практически мало отличаться от истинного значения параметра.

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли: Если вероятность события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом п для произвольного e >0 справедливо неравенство

Таким образом, получается:

Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в п испытаниях. Из теоремы видно, что отношение т/п обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний.

Теорема Муавра- Лапласа.

Формулировка теоремы рассмотрена ранее.

Данная теорема описывает переход от биноминального распределения к нормальному при неограниченном росте числа испытаний n. Теорема позволяет вычислить вероятность попадания СВ в интервал и вероятность отклонения по абсолютной величине случайной величины от своего математического ожидания:

Примеры. а) Рассмотрим последовательность независимых бросаний симметричной кости.

Пусть Xk - число очков, выпавших при k-м бросании. Тогда M(Xk)=(1 2 3 4 5 6)/6=3.5, a D(Xk)=(12 22 32 42 52 62)/6-(3.5)2=35/12 и Sn /n является средним числом очков, выпавших в результате n бросаний.

Закон больших чисел утверждает: правдоподобно, что при больших п это среднее окажется близким к 3,5. Центральная предельная теорема устанавливает вероятность того, что |Sn - 3,5n | < б (35n/12)1/2 близка к

Ф(б) - Ф(-б). При n = 1000 и б =1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(б 0)- Ф(-б 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы. б)Выборка. Предположим, что в генеральной совокупности, состоящей из N семей, Nk семей имеют ровно по k детей

(k = 0, 1 ...; ? Nk = N). Если семья выбрана наугад, то число детей в ней является случайной величиной, которая принимает значение v с вероятностью p v =N v /N. При выборе с возвращением можно рассматривать выборку объема n как совокупность n независимых случайных величин или «наблюдений» X1, ..., Xn, которые имеют все одно и то же распределение; является средним значением выборки. Закон больших чисел утверждает, что для достаточно большой случайной выборки ее среднее значение будет, вероятно, близким к , т. е, к среднему значению генеральной совокупности. Центральная предельная теорема позволяет оценить вероятную величину расхождения между этими средними значениями и определить объем выборки, необходимый для надежной оценки. На практике и ? и обычно неизвестны; однако в большинстве случаев удается легко получить предварительную оценку для и всегда можно заключить в надежные границы. Если мы желаем, чтобы с вероятностью 0,99 или большей среднее значение выборки отличалось от неизвестного среднего значения генеральной совокупности менее, чем на 1/10, то объем выборки должен быть взят таким, чтобы

Корень х уравнения Ф (х) - Ф (- х) = 0,99 равен х = 2,57 ..., и, следовательно, n должно быть таким, что 2,57 или n > 660 . Осторожная предварительная оценка дает возможность найти необходимый объем выборки. в) Распределение Пуассона.

Предположим, что случайные величины Xk имеют распределение Пуассона

{p(k; )}. Тогда Sn имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием и дисперсией, равными .

Написав вместо , мы заключаем, что при n

(1.5)

Суммирование производится по всем k от 0 до . Формула (1.5) имеет место и тогда, когда произвольным образом.

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

При неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Закон "больших чисел" объединяет совокупность теорем, которые формулируют условия, при которых большое количество случайных величин (например, их сумма) утрачивают случайный характер и приобретают определенную закономерность. На практике отмечено, что конкретные особенности каждого отдельного явления не сказываются на усредненном результате массы таких явлений.

Случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе явлений взаимно погашаются.

Свойство устойчивости массовых явлений, отмеченное на практике, стало предметом теоретических исследований. Результатом исследований стало доказательство ряда теорем. К их числу относятся теорема и неравенство Чебышева, теорема Бернулли.

1. ГМУРМАН В.Е. "Теория вероятностей и математическая статистика" - М., Высш.шк., 2003

2. http://freepapers.ru

Размещено на .ru