Теория оптимального управления для оценки опционов. Связь между риск-нейтральной и физической плотностью вероятности. Функция полезности как функция с ограниченным изменением. Решение задачи оптимального управления как задачи вариационного исчисления.
Одним из видов таких инструментов является опцион, который представляет собой контракт, дающий его владельцу право, но не обязательство, купить или продать подлежащий актив по заранее установленной цене в определенный момент в будущем или на протяжении определенного промежутка времени до наступления этого момента. Чаще всего в рамках этих моделей опционы оцениваются в риск-нейтральном мире, в котором ожидаемая доходность любого актива равна безрисковой процентной ставке. В настоящее время оптимальное управление уже стало обширной самостоятельной теорией в науке, которую, кроме всего прочего, используют для оценки таких производных контрактов как опционы. Несмотря на то, что чаще всего в литературе по количественным финансам задачу оптимального управления используют для оценки американских опционов и решают ее методом динамического программирования, в данной исследовательской работе мы решили пойти творческим путем и ставить задачу оптимального управления как задачу вариационного исчисления. В соответствие с целью были определены следующие задачи: на основе детального анализа существующих способов оценки опционов показать несостоятельность классической модели Блэка-Шоулза-Мертона; разобраться с теорией оптимального управления, научиться решать задачу оптимального управления в рамках задач вариационного исчисления; установить взаимосвязь между риск-нейтральной, физической функциями плотности вероятности и функцией полезности; для наложения необходимых ограничений на функционал представить функцию полезности как функцию с ограниченным изменением; составить и решить задачу оптимального управления для оценки опционов; проверить полученную модель на практике.Существует множество моделей оценки справедливой стоимости опционов, однако самой известной является модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мертона. Разработанная в начале 1970-х годов, эта модель имела огромное влияние на финансовую систему в целом, а также на способы определения теоретической стоимости и хеджирования деривативов трейдерами. Фишер Блэк и Майрон Шоулз использовали модель CAPM, чтобы определить связь между требуемой рыночной доходностью на опцион с требуемой доходностью на акцию. Более того, Мертон первым опубликовал работу, раскрывающую математическое обоснование модели, а также ввел термин "модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза". Рассмотрим основные предпосылки, лежащие в основе этой модели: · на рынке отсутствует арбитраж, то есть невозможно получить безрисковую прибыль;В литературе по количественным финансам существует подход, использующий риск-нейтральную оценку, благодаря которому можно получить общую формулу для оценки производных финансовых инструментов. Этот подход строится на предположении о нейтральности инвесторов к риску (т.е. они не требуют дополнительной премии за риск). Если любая операция может быть захеджирована, что возможно только при условии полноты рынка, то существует уникальная мартингальная мера и, следовательно, цена любого производного финансового инструмента определяется как дисконтированная по безрисковой ставке ожидаемая выплата по этому инструменту в момент его исполнения, под этой мартингальной мерой. Ожидаемые выплаты в момент исполнения опциона в риск-нейтральном мире будут равны а цена самого опциона будет задаваться следующим выражением: где - функция выплат для опционов на покупку (0 будет принимать в том случае, если текущая (ST) цена меньше цены исполнения (K), то есть когда опцион умирает), - некоторая функция плотности вероятности, по которой мы взвешиваем эту функцию выплат. Цена опциона-пут, соответственно, будет равна: Поскольку считается, что опционы являются составной частью хорошо захеджированного портфеля, заведомо приносящего безрисковую ставку (а такую ставку приносит портфель, если его держатели не требуют вознаграждения за риск, а, следовательно, они риск-нейтральны), то и функция плотности вероятности такая, которая соответствует риск-нейтральному распределению.В данной главе будет изучена теория оптимального управления, затем продемонстрирован метод постановки и решения задачи оптимального регулирования как задачи вариационного исчисления, а также рассмотрены необходимые теории и предпосылки, благодаря которым представляется возможным применение этой задачи для оценки производных финансовых инструментов, в частности, опционов. В то время развитие современных методов в соответствующих разделах классической математики и механики было вызвано к жизни потребностями таких новых областей науки и техники, как освоение космического пространства, сверхзвуковая авиация и автоматизация управления производственными процессами с применением вычислительных машин. Понтрягина и его сотрудников - принцип максимума, которое дает строгое математическое обоснование теории оптимального управления, отвечающей запросам новой техники, а также метод динамического программирования Беллмана, с успехом применяются для синтеза оптимальных режимов управления многочисленными техническими объектами.
План
Оглавление
Введение
1. Методы оценки опционов
1.1 Классическая модель Блэка-Шоулза-Мертона
1.2 Неструктурные модели оценки опционов
2. Теория оптимального управления для оценки опционов и основные предпосылки
2.1 Теория оптимального управления
2.2 Вариационные методы в задачах об оптимальном управлении
2.3 Связь между риск-нейтральной и физической плотностью вероятности
2.4 Функция полезности как функция с ограниченным изменением
3. Построение модели оценки опционов и ее применение на практике
3.1 Постановка и решение задачи оптимального управления как задачи вариационного исчисления
3.2 Оценка параметров физической функции плотности вероятности и функции полезности
Заключение
Список использованной литературы
Введение
В современной финансовой науке большая доля исследований посвящена оценке производных финансовых инструментов. Одним из видов таких инструментов является опцион, который представляет собой контракт, дающий его владельцу право, но не обязательство, купить или продать подлежащий актив по заранее установленной цене в определенный момент в будущем или на протяжении определенного промежутка времени до наступления этого момента.
На сегодняшний день существует огромное количество моделей, с помощью которых можно найти цену опциона. Чаще всего в рамках этих моделей опционы оцениваются в риск-нейтральном мире, в котором ожидаемая доходность любого актива равна безрисковой процентной ставке. Самой известной является классическая модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мертона. Несмотря на всю ее популярность, эту модель едва ли можно применять на практике ввиду большого количества нереалистичных предпосылок, одной из которых является предположение о том, что цена подлежащего актива подчиняется логнормальному распределению. Тем не менее, в финансовой литературе существует много альтернативных способов и теорий, с помощью которых представляется возможным оценивать опционы. Одним из таких способов является задача оптимального управления, которую мы и рассмотрим в данной работе.
Теория оптимального управления появилась в 50-х годах прошлого столетия в связи с необходимостью решения различных экономических задач, будь то поиск наилучшего (т.е. оптимального) управления летательными аппаратами, технологическим процессом на производстве и т.д. В настоящее время оптимальное управление уже стало обширной самостоятельной теорией в науке, которую, кроме всего прочего, используют для оценки таких производных контрактов как опционы. Несмотря на то, что чаще всего в литературе по количественным финансам задачу оптимального управления используют для оценки американских опционов и решают ее методом динамического программирования, в данной исследовательской работе мы решили пойти творческим путем и ставить задачу оптимального управления как задачу вариационного исчисления.
Для того, чтобы можно было решить такую задачу, рассмотрим формализм Якверта, согласно которому существует взаимосвязь между риск-нейтральной плотностью, физической ожидаемой плотностью и функцией неприятия риска, которая получается из функции полезности индивида. На функцию полезности, в свою очередь, будут наложены некоторые ограничения. Решив задачу оптимального управления, мы найдем вид функции плотности вероятности и первой производной функции полезности. Подставив их вместо риск-нейтральной функции плотности в модель, основанную на предположении о том, что цена производного финансового инструмента представляет собой дисконтированную с безрисковой ставкой будущую выплату по этому инструменту, мы получим готовую модель для оценки опционов.
Более того, если мы реконструируем и затем оценим функцию распределения базисного актива, на который выставлен опцион, то сможем изучать природу ожиданий участников рынка, т.е. извлекать информацию об ожиданиях инвесторов относительно цены этого актива непосредственно из премий по опциону. Таким образом, результаты данного исследования могут найти практическое применение.
Актуальность работы обусловлена тем, что эффективное прогнозирование динамики цен на рынке всегда будет оставаться одной из важнейших проблем, которые пытается решить финансовый аналитик. Более того, за последние 30 лет производные финансовые инструменты получили огромную популярность на финансовых рынках. Фьючерсы и опционы активно торгуются на биржах по всему миру. Множество различных видов форвардных контрактов, свопов, опционов и других деривативов выпускаются в обращение финансовыми институтами, менеджерами фондов и корпоративными казначеями на внебиржевые рынки. Сам рынок деривативов просто огромен, его объем во много раз превышает рынок акций, а стоимость базовых активов, по которым выписываются контракты, в несколько раз превышает мировой ВВП. Таким образом, мы находимся на том этапе, когда люди, работающие в финансах, просто обязаны знать, как работают опционы, как они используются, и, что самое главное, как их оценивать.
Объектом работы является оценка стоимости производных финансовых инструментов.
Предметом исследования является теория оптимального управления как способ оценки опционов.
Целью данной работы является постановка и решение задачи оптимального управления как задачи вариационного исчисления для нахождения вида функции полезности совместно с функцией плотности вероятности, которые мы рассматриваем в качестве функций управления в нашей задаче.
В соответствие с целью были определены следующие задачи: на основе детального анализа существующих способов оценки опционов показать несостоятельность классической модели Блэка-Шоулза-Мертона; разобраться с теорией оптимального управления, научиться решать задачу оптимального управления в рамках задач вариационного исчисления; установить взаимосвязь между риск-нейтральной, физической функциями плотности вероятности и функцией полезности; для наложения необходимых ограничений на функционал представить функцию полезности как функцию с ограниченным изменением; составить и решить задачу оптимального управления для оценки опционов; проверить полученную модель на практике.
Основными источниками, использованными в данной работе для подготовки теоретической базы, послужили следующие книги: Введение в оптимальное управление (В.Д. Ногин); Вариационное исчисление (И.М. Гельфанд, С.В. Фомин); Элементы теории функций и функционального анализа (А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин); Financial Modelling Under Non-Gaussian Distributions (Eric Jondeau, Ser-Huang Poon and Michael Rockinger); Options, Futures and Other Derivatives (John C. Hull).
Все расчеты были произведены в программном обеспечении MACHCAD 13 и MACHCAD 15, что позволило существенно упростить вычисления и обработку данных.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
