Задачі з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь - Автореферат

Гіперболічні системи квазілінійних рівнянь описують багато процесів газової динаміки та механіки рідин. Зокрема, до них належать нестаціонарні рівняння газової динаміки, стаціонарні рівняння Ейлера, рівняння теорії мілкої води, рівняння ідеальної магнітної гідродинаміки, рівняння теорії пружності тощо. Під областями з рухомими межами розуміють два типи областей, а саме: області з наперед заданими рухомими межами та області з межами, закон руху яких визначають певним співвідношенням. Такі області виникають: у гіперболічних задачах з розривними коефіцієнтами, якщо лінії розриву вихідних даних мають спільні точки; у задачах газової динаміки (задача про поршень) тощо. Задачі про спряження уздовж невідомої лінії поділу фаз розвязків рівнянь гіперболічного типу для лінійних чи нелінійних систем і рівнянь з двома незалежними змінними досліджувало чимало авторів, зокрема: Л.К.Позначимо - простір функцій, неперервно диференційовних на множині , перші похідні за просторовою змінною задовольняють умову Ліпшиця за всіма аргументами на множині . Позначимо через - множину номерів тих характеристик квазілінійної системи, які за малих містяться ліворуч від сектора ; - множина номерів характеристик, які лежать праворуч від множина відповідатиме номерам характеристик, які розташовані в секторі Нехай - вектор-функція, всі компоненти якої задані в замкнутому секторі і позначимо: Нелокальні умови для перших компонент вектор-функції задамо на : де - відомі функції аргументів та Для другої групи координат умови задаватимемо на : де функції - відомі. Отже, у цьому підрозділі для системи (1) вивчатимемо задачу з умовами: (6) Нехай - спільна стала Ліпшиця для функцій на а для функцій на такою сталою єДисертаційну роботу присвячено дослідженню задач з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь з частинними похідними першого порядку з двома незалежними змінними, які описують процеси газової динаміки та механіки рідин.

Основний зміст роботи

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню задач з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь з частинними похідними першого порядку з двома незалежними змінними, які описують процеси газової динаміки та механіки рідин.

У роботі одержано такі головні результати: встановлено умови класичної локальної та глобальної розвязності задачі для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в секторі з рухомими межами;

досліджено умови існування та єдиності локального узагальненого розвязку двофазної задачі для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в секторі з рухомими межами та невідомою контактною межею;

встановлено достатні умови коректної розвязності задачі з невідомими межами та нелінійними нелокальними умовами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в криволінійному чотирикутнику;

доведено теореми існування та єдиності локального і глобального класичних розвязків мішаної задачі з нерозділеними крайовими умовами та інтегральним доданком для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь.

Для одержання цих результатів використано метод характеристик і теорему Банаха про нерухому точку стискуючого оператора.

Отримані результати є новими для нелінійних задач з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь. Їх можна використати в теорії крайових задач для рівнянь з частинними похідними і в математичній фізиці, а також при дослідженні практичних проблем, які моделюються нелінійними гіперболічними задачами.

1. Андрусяк Р.В. Класична розвязність задачі з рухомими межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь / Р.В. Андрусяк, Н.О. Бурдейна, В.М. Кирилич // Укр. матем. журн. - 2009. - Т.61. - №7. - С.867-891.

2. Андрусяк Р. Гладка розвязність квазілінійної гіперболічної задачі з вільними межами / Р. Андрусяк, Н. Бурдейна, В. Кирилич // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех. - мат. - 2009. - Вип.70. - С.14-37.

3. Андрусяк Р.В. Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами / Р.В. Андрусяк, Н.О. Бурдейна, В.М. Кирилич // Укр. матем. журн. - 2010. - Т.62. - № 9. - С.1173-1199.

4. Бурдейна Н.О. Гладка глобальна розвязність гіперболічної задачі з рухомими межами і нерозділеними крайовими умовами / Н.О. Бурдейна // Вісн. Одеськ. ун-ту. Матем. і мех. - 2009. - Т.14. - Вип. 20. - С.35-56.

5. Бурдейна Н.О. Гіперболічна квазілінійна задача з невідомими межами / Н.О. Бурдейна // Вісн. Донецьк. ун-ту. Сер. А: Природн. науки. - 2009. - Вип.1. - С.74-82.

6. Бурдейна Н. Спряження розвязків гіперболічної задачі для системи квазілінійних рівнянь вздовж невідомої лінії розриву в криволінійному секторі / Наталя Бурдейна // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех. - мат. - 2010. - Вип.73. - С.221-226.

7. Андрусяк Р.В. Класична розвязність квазілінійної гіперболічної задачі з рухомими межами / Р.В. Андрусяк, Н.О. Бурдейна, В.М. Кирилич // Нелінійні проблеми аналізу: тези доп. IV Всеукр. наук. конф.10-12 вересня 2008 р. - Івано-Франківськ, 2008. - С.2.

8. Андрусяк Р.В. Гіперболічна квазілінійна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами / Р.В. Андрусяк, Н.О. Бурдейна // Конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики: тези доп., Львів, 25-27 травня 2009 р. - Львів, 2009. - С. 195-196.

9. Андрусяк Р.В. Існування та єдиність глобального класичного розвязку однієї гіперболічної задачі Стефана / Р.В. Андрусяк, Н.О. Бурдейна // Міжнар. конф. до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди, 8-13 червня 2009 р.: тези доп. - Чернівці: Книги ХХІ, 2009. - С.8-9.

10. Андрусяк Р.В. Класична розвязність гіперболічної квазілінійної задачі [Електронний ресурс] / Р.В. Андрусяк, Н.О. Бурдейна // Укр. матем. конгрес.27-29 серпня 2009 р. - К., 2009. - Режим доступу до матеріалів: http://imath. kiev.ua/congress2009/Abstracts/Andrusyak. pdf.

11. Андрусяк Р.В. Задача з нелокальними умовами в секторі з вільними межами для гіперболічної квазілінійної системи / Р.В. Андрусяк, Н.О. Бурдейна // IV Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача: тези доп., 24-27 травня 2011р. - Львів, 2011. - С.307.

12. Бурдейна Н.О. Гладка розвязність квазілінійної гіперболічної задачі з вільними межами / Н.О. Бурдейна // Second International Conference for Young Mathematics on Differential Equations and Appl. dedicated to Ya. B. Lopatinskii: book of abstracts, 11-14 November, 2008. - Донецьк, 2008. - С.48-49.

13. Бурдейна Н. Розвязність квазілінійних гіперболічних задач з рухомими границями / Наталя Бурдейна, Володимир Кирилич // Сучасні проблеми механіки та математики: матеріали ІІ Міжнар. наук. конф., 25-29 травня 2008. - Львів, 2008. - С.95-96.

14. Бурдейна Н.О. Гладка розвязність квазілінійної гіперболічної задачі в криволінійному секторі / Н.О. Бурдейна // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: матеріали XVI Всеукр. наук. конф., 8-9 жовтня 2009 р. - Львів, 2009. - С.41.

15. Бурдейна Н.О. Гладка розвязність нелінійної задачі з невідомими межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь / Н.О. Бурдейна // Тринадцята міжнародна конференція імені академіка М. Кравчука: матеріали конференції І, 13-15 травня 2010 р. - К., 2010. - С.72.

16. Бурдейна Н.О. Гладка розвязність гіперболічної квазілінійної задачі з нерозділеними крайовими умовами в секторі з рухомими межами [Електронний ресурс] / Н.О. Бурдейна // Конференція молодих вчених "Підстригачівські читання - 2010" 25-26 травня 2010 р. - Львів, 2010. - Режим доступу до матеріалів: http://www.iapmm. lviv.ua/chyt2010/materials/pc2010-02-B-05. pdf.

17. Бурдейна Н.О. Задача з вільними межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь загального вигляду / Наталя Бурдейна // Third International Conference for Young Mathematics on Differential Equations and Appl. dedicated to Yaroslav Lopatynsky: book of abstracts, 3-6 November, 2010. - Донецьк, 2010. - С.45.

18. Бурдейна Н.О. Спряження розвязків гіперболічної задачі для системи квазілінійних рівнянь уздовж невідомої контактної межі в секторі / Н.О. Бурдейна // Theoretical and Applied Aspecrs of Cybernetics: proceedings of the International Scientific Conference of Students and Young Scientists, 21-25 February 2011. - К., 2011. - С.214-216.