Задачі з нелокальними умовами для гіперболічних рівнянь та задача з початковими умовами для безтипних рівнянь - Автореферат

У дисертаційній роботі вивчено три типи задач - задачу з початковими умовами (задачу Коші), задачі з нелокальними багатоточковими та задачі з нелокальними інтегральними умовами. Вагомий внесок у розвиток теорії задачі Коші для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними зробили І. Г. У їхніх роботах знайдено класи коректності задачі Коші для систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами; а для випадку коефіцієнтів, що залежать тільки від просторових змінних, встановлено теореми про коректну розвязність задачі Коші у класах функцій, обмежених на нескінченності. Особлива увага в останні десятиліття приділяється задачам з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними. Дослідити коректність, побудувати розвязки задач із локальними (початковими) умовами для лінійних безтипних рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними та задач із нелокальними умовами для лінійних строго гіперболічних рівнянь довільного порядку в обмеженій циліндричній області, розвязність яких повязана з проблемами малих знаменників і є нестійкою щодо малих змін параметрів задачі.Ці достатні умови розвязності задачі Коші у просторі не можна послабити для всіх рівнянь вигляду (1), про що свідчить наведений у підрозділі 2.1 приклад задачі Коші для рівняння . У підрозділі 2.1 показано (теорема 2.1), що у випадку достатні умови (3) розвязності задачі (1), (2) в просторі можна послабити для майже всіх (стосовно міри Лебега) рівнянь (1). Для майже всіх (за мірою Лебега в ) векторів оцінка виконується при , де стала не залежить від вектора . Підсумком результатів Гельфанда і Шилова та теореми 2.1 є такий факт: задача (1), (2) має в просторі єдиний розвязок, якщо , , де у випадку, коли , , і у решті випадків. Нехай виконуються умови леми 2.7 і , , тоді для всіх векторів існує єдиний розвязок задачі (5) із простору і виконується нерівність де - множина з леми 2.7, стала не залежить від коефіцієнтів системи (5).Дисертаційна робота присвячена дослідженню в області, що є декартовим добутком часового відрізка і багатовимірного просторового тора, задач з початковими умовами для лінійних безтипних рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, задач з нелокальними багатоточковими умовами та задач з нелокальними інтегральними умовами для лінійних строго гіперболічних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Досліджено задачу з початковими умовами за часовою змінною для загальних нормальних лінійних рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. Встановлено умови коректної розвязності у просторах Соболєва задач з нелокальними багатоточковими умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за рештою координат для строго гіперболічних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

Основний зміст роботи

Дисертаційна робота присвячена дослідженню в області, що є декартовим добутком часового відрізка і багатовимірного просторового тора, задач з початковими умовами для лінійних безтипних рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, задач з нелокальними багатоточковими умовами та задач з нелокальними інтегральними умовами для лінійних строго гіперболічних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Розглянуті задачі є некоректними за Адамаром, їх розвязність та властивості розвязків повязані з проблемами малих знаменників.

Автором одержано такі нові результати: 1. Досліджено задачу з початковими умовами за часовою змінною для загальних нормальних лінійних рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. Встановлено умови гладкості на вихідні дані задачі Коші, за яких вона розвязна у певному заданому функціональному просторі, і зясовано, коли ці умови є слабшими за відповідні умови Гельфанда-Шилова.

2. Встановлено умови коректної розвязності у просторах Соболєва задач з нелокальними багатоточковими умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за рештою координат для строго гіперболічних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

3. Знайдено умови однозначної розвязності у просторах Соболєва та вивчено властивості розвязків задач з нелокальними інтегральними умовами для строго гіперболічних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

4. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникли при дослідженні задач дисертації; при цьому встановлено точні оцінки для міри множини рівня гладкої функції зі знакосталою похідною високого порядку.

Робота має теоретичний характер. Її результати можна використати у подальших теоретичних дослідженнях задач з локальними та нелокальними (багатоточковими та інтегральними) умовами для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними, а також у конкретних прикладних задачах, що моделюються за допомогою вказаних задач. Результати роботи стали джерелом нових задач метричної теорії діофантових наближень і можуть бути використані у подальшому розвитку цієї теорії.

1. Ільків В. С. Нелокальна двототочкова задача для строго гіперболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами другого порядку / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Мат. вісник НТШ. - 2006. - 3. - С. 69-83.

2. Ільків В. С. Крайова задача з нелокальними багатоточковими умовами для гіперболічного рівняння / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2007. - 50, № 3. - С. 66-81.

3. Ільків В. С. Про константу в лемі Пяртлі / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Вісник НУ «Львівська політехніка». Фіз.-мат. науки. - 2007. - № 601. - С. 12-17.

4. Ільків В. С. Задача з нелокальними багатототочковими умовами для строго гіперболічних рівнянь високого порядку / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Мат. вісник НТШ. - 2007. - 4. - С. 107-115.

5. Ільків В. С. Дослідження умов розвязності задачі Коші для рівнянь із частинними похідними за допомогою метричного підходу / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Нелинейные граничные задачи. - 2008. - № 18. - С. 86-106.

6. Ільків В. С. Задача з інтегральними умовами для рівняння з частинними похідними другого порядку / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Вісник НУ «Львівська політехніка». Фіз.-мат. науки. - 2008. - № 625. - С. 12-19.

7. Магеровська Т. В. Задача з інтегральними умовами за часовою змінною для рівнянь з частинними похідними високого порядку / Т. В. Магеровська // Прикладні проблеми механіки і математики. - 2009. - Вип. 7. - С. 16-26.

8. Ilkiv V. S. Exact estimate for the measure of the level set of the modulus of a function with high-order constant-sign derivative / V. S. Ilkiv, T. V. Maherovska // Math. studii. - 2010. - 34, № 1. - С. 57-64.

9. Ільків В. С. Гладкість розвязків задач нелокальними багатоточковими умовами для строго гіперболічних рівнянь / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Міжнар. матем. конф. ім. В. Я. Скоробогатька, 24-28 вересня 2007, Дрогобич: тези доп. - Львів, 2007. - С. 113.

10. Ільків В. С. Точна стала в лемі Пяртлі / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Наук. конф. проф.-викл. складу ІПМФН: тези доп. - Львів: Вид-во НУ «Львівська політехніка», 2007. - C. 13.

11. Магеровська Т. В. Задача з нелокальними багатоточковими умовами для строго гіперболічних рівнянь / Т. В. Магеровська // XII-та Міжнар. наук. конф. М. Кравчука. - Київ, 2008. - С. 251.

12. Ільків В. С. Про гладкість розвязку задачі з інтегральними умовами для строго гіперболічних рівнянь другого порядку / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Наук. конф. проф.-викл. складу ІПМФН: тези доп. - Львів: Вид-во НУ «Львівська політехніка», 2008. - C. 17.

13. Илькив В. С. Задача с интегральными условиями для уравнений с частными производными / В. С. Илькив, Т. В. Магеровская // Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рожд. С. Л. Соболева: тез. докл. - Новосибирск, 2008. - С. 143.

14. Ільків В. С. Задача з інтегральними умовами за часовою змінною для строго гіперболічних рівнянь другого порядку / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // IV Всеукр. наук. конф. «Нелін. пробл. Аналізу». - Івано-Франківськ, 2008. - С. 111.

15. Илькив В. С. Зависимость гладкости решения задачи Коши для уравнений с частными производными от их коэффициентов / В. С. Илькив, Т. В. Магеровская // Междунар. конф., посвящ. 70-летию со дня рожд. В. А. Садовничего. - Москва, 2009. - С. 172.

16. Ільків В. С. Крайові задачі для рівнянь у частинних похідних - задачі в умовах невизначеності / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Int. conf. «Problems of decision making under uncertainties (PDMU-2009)». - Східниця, 2009. - С. 111-112.

17. Ільків В. С. Точна константа у лемі Пяртлі / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Міжнар. конф. до 100-річчя М. М. Боголюбова та 70-річчя М. І. Нагнибіди. - Чернівці, 2009. - С. 56-58.

18. Ільків В. С. Про нерівність між нормами похідних та мірою області / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Int. Conf. «Funct. methods in approx. theory and operator theory III», dedicated to the memory of V. K. Dzyadyk, August 22-26, 2009, Volyn. - С. 48-49.

19. Ільків В. С. Про гладкість розвязків задачі Коші для систем рівнянь з частинними похідними / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // Український математичний конгрес. - 2009. - www.imath.fiev. ua/ congress 2009/Abstracts/ ILKIVMAGER.pdf.

20. Ільків В. С. Умови гладкості розвязку задачі Коші для систем ДРЧП / В.С.Ільків, Т. В. Магеровська // Наук. конф. проф.-викл. складу ІПМФН: тези доп. - Львів: Вид-во НУ «Львівська політехніка», 2009. - C. 37.

21. Ільків В. С. Задача з інтегральними умовами для строго гіперболічних рівнянь / В. С. Ільків, Т. В. Магеровська // XIII-та Міжнар. наук. конф. М. Кравчука. - Київ, 2010. - С. 178.

22. Магеровська Т. В. Про співвідношення між нормами похідних та мірою області / Т. В. Магеровська, В. С. Ільків // Int. conf. «Approx. theory and appl.», in memory of N. P. Korneichuk, Dnepropetrovsk, June 14-17, 2010. - Dnepropetrovsk, 2010. - С. 61-62.