Задачі типу Діріхле для диференціально-операторних рівнянь парного порядку - Автореферат

, (**) де - оператор задачі (*) (незбурений оператор) з точковим спектром, а - функціонально-диференціальний оператор (його називатимемо збуренням оператора ), при умові, що оператори і є ізоспектральні (точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора , а його система власних функцій є повною та мінімальною) та подібні (називатимемо збуреним оператором). У роботах Ільїна В.А., Іонкіна Н.І., Самарської Т.А., Каленюка П.І., Баранецького Я.О. досліджувались нелокальні задачі для диференціально-операторних рівнянь та рівнянь із частинними похідними з кратним спектром та системою власних та приєднаних функцій, яка містить злічену множину приєднаних. На відміну від інших, Каленюк П.І. та Баранецький Я.О. розглядали оператори цих задач як ізоспектральні збурення (за рахунок зміни крайових умов) операторів відповідних періодичних та нелокальних багатоточкових задач, властивості яких були добре вивчені. У подальших роботах Баранецького Я.О. за допомогою цього ж методу досліджено збурені задачі типу Діріхле (за рахунок зміни крайових умов) для лінійних еліптичних та гіпоеліптичних диференціальних рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь (з точковим спектром), що залишали незмінним спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій вихідної задачі. Мета дисертаційної роботи полягає у побудові операторів збурень лінійних диференціальних рівнянь парного порядку крайових задач типу Діріхле, що залишають незмінним точковий спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій, а також дослідженні властивостей розвязків задач, отриманих у результаті збурення.Розглядаємо оператор , та його розширення на простір, , а також простори, множина замкнутих, щільно визначених операторів, У вступі обґрунтовано актуальність теми, показано звязок роботи з науковими темами, сформульовано мету й задачі дослідження, висвітлено наукову новизну, практичне значення, апробацію отриманих результатів, кількість публікацій та структуру роботи. Оператор має точковий спектр та систему власних функцій, яка утворює ортонормовану базу простору У підрозділі 2.2 досліджено функціонально-диференціальне збурення задачі (1), (3): Введемо оператор задачі (4), (2), , та оператор. Система власних функцій оператора утворює базу Ріса в просторі. Доведено, що точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора, а система власних функцій оператора є повною та мінімальною в просторі.Побудовано класи операторів функціонально-диференціальних та диференціально-різницевих збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння другого порядку. В явному вигляді знайдено власні функції цих задач. У випадку функціонально-диференціального збурення встановлено однозначну розвязність задачі Діріхле, а також оцінку зверху отриманого розвязку. Досліджено випадок ізоспектрального збурення оператора задачі Діріхле, система власних функцій якої не є базою Ріса. Побудовано клас операторів збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі типу Діріхле для диференціально-операторного рівняння парного порядку.

Основний зміст роботи

Дисертаційна робота присвячена дослідженню задач типу Діріхле для збурених лінійних диференціальних рівнянь певних класів, диференціально-функціональними операторами, що є ізоспектральними до крайових задач, властивості яких є добре вивчені. Основні результати дисертації розширюють та доповнюють відомі результати, щодо крайових задач для функціонально-диференціальних рівнянь, теорії ізоспектральності та подібності лінійних необмежених операторів.

1. Побудовано класи операторів функціонально-диференціальних та диференціально-різницевих збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння другого порядку. Вивчено спектральні властивості збурених задач. В явному вигляді знайдено власні функції цих задач. Доведено базисність Ріса отриманих систем. У випадку функціонально-диференціального збурення встановлено однозначну розвязність задачі Діріхле, а також оцінку зверху отриманого розвязку.

2. Досліджено випадок ізоспектрального збурення оператора задачі Діріхле, система власних функцій якої не є базою Ріса.

3. Виділено та вивчено клас операторів подібних оператору незбуреної задачі.

4. Побудовано клас операторів збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі типу Діріхле для диференціально-операторного рівняння парного порядку. Вивчено спектральні властивості збуреної задачі. В явному вигляді знайдено власні функції цієї задачі та елементи біортогональної системи.

Виділено клас операторів збурень для якого система власних функцій задачі типу Діріхле буде базою Ріса в просторі вектор-функцій.

5. Встановлено умови існування та єдиності розвязку збуреної задачі та оцінку зверху отриманого розвязку.

6. Побудовано класи операторів збурень за виділеною змінною та за двома змінними, що є ізоспектральними до оператора задачі Діріхле для еліптичного рівняння другого порядку. Знайдено в явному вигляді власні функції операторів збурених задач. Доведено базисність Ріса систем власних функцій збурених операторів.

7. У випадку збурення за виділеною змінною, встановлено однозначну розвязність збуреної задачі та оцінку зверху отриманого розвязку. У випадку збурення за двома змінними, використовуючи базисність Ріса, розвязок напіводнорідної задачі побудований у вигляді ряду за власними функціями, а також встановлено двосторонні оцінки цього розвязку. На основі цих оцінок доведено однозначну розвязність збуреної задачі.

Робота носить теоретичний характер. ЇЇ результати можна використати для дослідження обернених задач спектральної геометрії, аналізу деяких проблем теплопровідності та хвильових процесів.

1. Баранецький Я.О., Каленюк П.І., Ярка У.Б. Збурення крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 1998. -№337.- С.70-73.

2. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для інтегро-диференціальних рівнянь // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикладна математика.- 1999.-№ 364.- С. 310-315.

3. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для диференціально -операторних рівнянь парного порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля.-1999.- 42, №4.- С.1-6.

4. Ярка Уляна. Спектральні властивості граничної задачі для абстрактного диференціального рівняння // Вісн. Львів.ун-ту, сер.мех. мат. 2000. вип. 56. -С.185-192.

5. Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для диференціально-фукціональних рівнянь еліптичного типу ізоспектральних задачі Діріхле для рівняння Пуассона // Вісн.Чернівецького ун-ту, сер. Математика 2004. вип.191-192 .-С.146-150.

6. Баранецький Я., Каленюк П., Ярка У. Спектральні властивості для функціонально-диференціального рівняння // VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука. Тези доповідей.- Київ.- 1998.- С. 33.

7. Баранецкий Я.О., Каленюк П.И., Копчук-Кашецкий А.В., Ярка У.Б. Нелокальные эллиптические краевые задачи с одинаковым спектром // Міжнар. наук. конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння”. Тези доповідей.- Одеса: АСТРОПРИНТ.- 2000.- С. 22-23.

8. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Ізоспектральні збурення оператора задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння II порядку // Міжнар. наук. конф. “Диференціальні рівняння та їх застосування ”. Тези доповідей.- Чернівці. - 2006. - С.10.

9. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Диференціально-різницеві збурення задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння II порядку // Міжнар. наук. конф. “Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування”. Тези доповідей.- Ужгород. -2006. - С.8-9.

10. Ярка У.Б. Існування та єдність розвязку крайової задачі для диференціально-операторного рівняння парного порядку // Міжнар. наук. конф. ім. Скоробагатька В.Я. Тези доповідей. - Львів. - 2004. - C. 240.

11. Ярка У.Б. Абстрактні збурення диференціального оператора задачі Діріхле // XI Міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука. Тези доповідей.- Київ.-2006. - С.668.

12. Ярка У.Б, Баранецький Я.О. Ізоспектральність одного класу крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними в обмеженій області // Міжнар. наук. конф. “Шості Боголюбовські читання ”. Тези доповідей. - Київ. -2003. - С.256.

13. Baranetskij Ya., Yarka U. Solution of boundary value problems for abstract differential equations // International Conference on Functional Analysis and its Applications. Book of abstracts. - Lviv. - 2002. - P. 29.