Встановлення існування та єдності узагальненого розв’язку задач для нелінійних рівнянь в анізотропних просторах без умов на нескінченності. Дослідження альтернативних випадків, при яких варіаційні нерівності є коректними в певних класах зростання.
При низкой оригинальности работы "Задачі для параболічних та еліптичних рівнянь у необмежених областях", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Вивчення нелінійних еліптичних та параболічних рівнянь в необмежених областях без умов на нескінченності почало активно розвиватися з середини 80-х років 20 століття. Згодом появилась велика кількість праць, в яких досліджувались нелінійні параболічні та еліптичні рівняння, для яких справджується цей ефект (праці Ф.Берніса (Bernis), О.Л.Гладкова, М.Херреро (Herrero), М.М.Бокала, Е.ДІБЕНЕДЕТТО (Di Benedetto), К.Марчі(Marchi), А.Тесеі (Tesei), Ж.-Л.Вазкеза (Vazquez)). Варто відзначити, що при дослідженні нелінійних рівнянь типу фільтрації-абсорбції класи функцій, в яких задачі для цих рівнянь є коректними, залежать від показників степенів нелінійностей (надалі коротко говоритимемо „від параметрів нелінійностей”) цих рівнянь. При різних умовах на ці параметри розвязність одного і того ж рівняння можна досліджувати як без умов на нескінченності так і в класах функцій, що зростають або як експоненціальні, або як степеневі. Причому для деяких рівнянь показано, що при певних умовах на їхні параметри нелінійності неможливим є доведення існування та єдності розвязку рівняння без умов на нескінченності.Функцію , яка задовольняє інтегральну рівність для будь-яких і умову (2), називатимемо узагальненим розвязком задачі (1)-(3). Функцію , яка задовольняє інтегральну рівність для будь-яких і умову (2), називатимемо узагальненим розвязком задачі (4),(2),(3). Тоді існує функція , яка задовольняє рівність для будь-яких і умову . Нехай виконуються умови: існує стала така, що м.с. в ; існує таке, що м.с. в . або . Теорема 2.4 Нехай виконуються умови: існує стала така, що м.с. в , ; існує таке, що м.с. в ; м.с. в . і , або .Досліджено коректність крайових задач для параболічних та еліптичних нелінійних рівнянь в анізотропних просторах. Встановлено умови на вихідні дані та на параметри нелінійності рівнянь, при яких такі задачі є однозначно розвязними без умов на нескінченності. Для нелінійних параболічних та еліптичних варіаційних нерівностей 4-го порядку визначено умови на вихідні дані та параметри нелінійності цих нерівностей, при яких дані нерівності є однозначно розвязними без умов на нескінченності. На основі методу введення параметра визначено клас коректності для параболічної варіаційної нерівності 4-го порядку, причому цей клас залежить від параметрів нелінійності нерівності.
План
Основний зміст роботи
Вывод
Дисертаційна робота присвячена вивченню розвязності та асимптотичної поведінки розвязків крайових задач для нелінійних параболічних та еліптичних рівнянь в необмежених областях.
1. Досліджено коректність крайових задач для параболічних та еліптичних нелінійних рівнянь в анізотропних просторах. Встановлено умови на вихідні дані та на параметри нелінійності рівнянь, при яких такі задачі є однозначно розвязними без умов на нескінченності. При доведенні використано метод монотонності та метод компактності.
2. Встановлено умови існування розвязку для широкого класу нелінійних параболічних варіаційних нерівностей в обмежених областях.
3. Для нелінійних параболічних та еліптичних варіаційних нерівностей 4-го порядку визначено умови на вихідні дані та параметри нелінійності цих нерівностей, при яких дані нерівності є однозначно розвязними без умов на нескінченності.
4. Наведено інтерпретацію розвязків досліджених параболічних варіаційних нерівностей. Зокрема наведено приклади задач, розвязками яких будуть розвязки нерівностей.
5. Розглянуто альтернативні умови на параметри нелінійностей варіаційних нерівностей, при яких такі нерівності є коректні в певному класі зростання. На основі методу введення параметра визначено клас коректності для параболічної варіаційної нерівності 4-го порядку, причому цей клас залежить від параметрів нелінійності нерівності.
6. Визначено клас коректності для еліптичної варіаційної нерівності вищого порядку, причому цей клас не залежить від порядку нерівності. Тут використано певний аналог методу введення параметра для еволюційних рівнянь.
7. Результати, отримані в дисертаційній роботі досить повно описують різноманітні випадки нелінійностей в рівняннях типу фільтрації-абсорбції, а також класи, в яких такі рівняння є розвязними. Отримані результати разом з результатами, описаними в розділі 1, дозволяють певною мірою систематизувати теорію нелінійних рівнянь в необмежених областях і визначити методологію дослідження таких рівнянь в залежності від типів їхньої нелінійності.
Список литературы
1. Лавренюк С.П., Медвідь І.М. Параболічна варіаційна нерівність вищого порядку в необмежених областях // Доповіді НАН України. - 2006. - №7. - С.12-18.
2. Медвідь І. Задачі для нелінійних еліптичних і параболічних рівнянь в анізотропних просторах // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - 2005. - Вип.64. - С. 149-166.
3. Медвідь І. Параболічна задача для рівняння фільтрації-абсорбції без умов на нескінченності // Математичні студії. - 2006. - Т.26. - №2. - С. 202-211.
4. Медвідь І.М. Еліптична варіаційна нерівність в необмежених областях // Конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С. Підстригача, 24 - 27 травня 2005р., м.Львів. - С. 303.
5. Медвідь І.М. Еліптична варіаційна нерівність в необмежених областях // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2006. - Т.49. - №2 - С.108-116.
6. Медвідь І.М. Нелінійна параболічна задача без умов на нескінченності // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька, 27 вересня - 1 жовтня 2004р., м.Дрогобич. - С. 142.
7. Медвідь І.М. Нелінійна параболічна задача без умов на нескінченості // Міжнародна математична конференція "Диференціфльні рівняння та їх застосування". КНУ ім. Т. Шевченка, 6 - 9 червня 2005р., м.Київ. - С. 70.
8. Медвідь І.М. Параболічна варіаційна нерівність в необмежених областях // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 18 - 20 травня 2006р., м.Київ. - С. 515.
9. Медвідь І.М. Параболічна задача для рівняння фільтрації-абсорбції без уов на нескінченності // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька, 24-28 вересня 2007р., м.Дрогобич. - С. 80.
10. Medvid I. A parabolic variational inequality of higher order in unbounded domains // Міжнародна конференція з диференціальних рівнянь присвячена 100-річчю Я.Б. Лопатинського (ЛНУ ім. І. Франка, м. Львів), 12 - 17 вересня 2006р. - С. 127-128.
11. Medvid I. Elliptic variational inequality of higher order in unbounded domains // Міжнародна математична конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування" (ЧНУ ім. Ю. Федьковича, м. Чернівці), 11 - 14 жовтня 2006р. - С. 194.
12. Medvid Ivan. Variational parabolic inequality of higher order in unbounded domains // International journal of nonlinear operator theory and applications. - 2007. - V.2 - №1 - P.90-105.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
