Задачі для гіперболічних систем першого порядку та ультрапараболічних систем у необмежених областях - Автореферат

Порівняно в небагатьох працях розглядали мішані задачі для гіперболічних систем першого порядку в необмежених областях з некомпактною межею і лише у кількох працях - задачі без початкових умов (неперіодичні задачі за часовою змінною). У другому розділі дисертаційної роботи досліджено саме такі задачі для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку з багатьма незалежними змінними в необмежених областях. У незначній кількості праць вивчали мішані задачі та задачі Фурє для ультрапараболічних рівнянь в необмежених областях. Недостатня вивченість задач для систем гіперболічних рівнянь першого порядку та ультрапараболічних рівнянь в необмежених як за часовою так і просторовими змінними областях спонукала до дослідження їх розвязності, без припущень на поведінку розвязку на нескінченності, у цій дисертаційній роботі. Безпосередніми задачами дослідження систем, що розглядаються, є: визначення умов існування та єдиності розвязку задачі без початкових умов для системи напівлінійних гіперболічних рівнянь першого порядку;У другому розділі досліджено задачі для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку з багатьма незалежними змінними в необмежених областях та задачу для системи гіперболічних варіаційних нерівностей першого порядку в обмеженій області. Припускатимемо, що для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови: (A): елементи матриць Ai належать до простору , елементи матриць Aixj належать до простору для всіх i,j=1,…,l ; для всіх (x,t)ЄQT; Функцію , яка задовольняє включення, p?=p/(p-1), систему (1) для майже всіх (x,t)ЄQT, крайові та початкові умови (2), (3) називатимемо розвязком майже скрізь задачі (1) - (3) в обмеженій області . Якщо крім умов теореми 2.3 виконується умова: для всіх, де, то доведено (теорема 2.4), що сильний розвязок задачі (1), (2) задовольняє умову для всіх. Припускатимемо, що виконується умова (A4), якщо: (A4): виконується умова (A0); для кожної точки, перетин множини з площиною має додатну міру в Rl і частина бічної поверхні, яка належить до QT, є гладкою; існує послідовність {} регулярних областей таких, що множина тих точок поверхні для яких може бути записана у вигляді;Отримано умови існування та єдиності розвязку цих задач без обмежень поведінки розвязку на нескінченності. У дисертації одержано такі результати: 1) встановлено умови існування єдиного розвязку задачі без початкових умов для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку з багатьма незалежними змінними в обмеженій за просторовими змінними і необмеженій за часовою змінною області. 2) досліджено мішану задачу для багатовимірної напівлінійної-гіперболічної системи першого порядку в області з некомпактною межею. Одержано існування і єдиність розвязку мішаної задачі в області, необмеженій за однією частиною змінних; деякі оцінки розвязку і теорему єдиності розвязку мішаної задачі в області, необмеженій за іншою частиною змінних; існування і єдиність розвязку мішаної задачі в області, необмеженій за всіма просторовими змінними.

Основний зміст роботи

Дисертаційна робота присвячена дослідженню задач без початкових умов та мішаних задач для гіперболічних систем першого порядку і ультрапараболічних систем в необмежених областях. Отримано умови існування та єдиності розвязку цих задач без обмежень поведінки розвязку на нескінченності. У дисертації одержано такі результати: 1) встановлено умови існування єдиного розвязку задачі без початкових умов для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку з багатьма незалежними змінними в обмеженій за просторовими змінними і необмеженій за часовою змінною області. Доведено, що коректність задачі не залежить від поведінки розвязку при t>-?. Мішану задачу для такої системи рівнянь в обмеженій області досліджено в монографії Ліонса Ж.-Л;

2) досліджено мішану задачу для багатовимірної напівлінійної -гіперболічної системи першого порядку в області з некомпактною межею. Одержано достатні умови існування та єдиності розвязку майже скрізь і сильного розвязку задачі з крайовими умовами типу Діріхле в класі функцій з довільним зростанням при ;

3) отримано деякі достатні умови існування та єдиності сильного та слабкого розвязків задачі для системи гіперболічних варіаційних нерівностей першого порядку в обмеженій області;

4) досліджено задачу без початкових умов для слабко нелінійної ультрапараболічної системи (у випадку багатьох часів), знайдено умови існування та єдиності розвязку в сенсі Лакса-Філіпса у класі функцій, які не залежать від поведінки при ;

5) в областях, необмежених за частиною просторових змінних, досліджено мішані задачі для напівлінійної ультрапараболічної системи. Одержано існування і єдиність розвязку мішаної задачі в області, необмеженій за однією частиною змінних; деякі оцінки розвязку і теорему єдиності розвязку мішаної задачі в області, необмеженій за іншою частиною змінних; існування і єдиність розвязку мішаної задачі в області, необмеженій за всіма просторовими змінними. Розвязність цих задач одержано без припущень на поведінку розвязків на нескінченності.

Гузіль Наталія. Мішана задача для напівлінійної гіперболічної системи першого порядку в необмеженій області // Вісник Львів. ун-ту, Сер. мех.-мат. 2003. Вип.62. C. 13-26.

Гузіль Н.І. Задача без початкових умов для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку // Математичні Студії. 2004. Т.21, № 2. C. 187-196.

Гузіль Н.І., Лавренюк С.П. Задача без початкових умов для гіперболічної системи першого порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2004. Т.47, № 2. C. 108-115.

Гузіль Наталія. Задача без початкових умов для системи ультрапараболічних рівнянь // Вісник Львів. ун-ту, Сер. мех.-мат. 2004. Вип.63. C. 59-76.

Гузіль Н.І., Лавренюк С.П. Мішана задача для напівлінійної ультрапараболічної системи в необмеженій області // Доповіді НАН України. 2005. № 5. C. 1116.

Guzil N. A problem without initial condition for a semilinear first-order system of hyperbolic equations // Міжнародна наукова конференція "Шості Боголюбовські читання" (26 30 серпня 2003р., м.Чернівці). Тези доп. Київ, 2003. C. 281.

Гузіль Н.І. Застосування методу Гальоркіна до дослідження гіперболічної системи першого порядку // Нелінійні проблеми аналізу: ІІІ Всеукраїнська наукова конференція. Тези доповідей. Івано-Франківськ: Плай, 2003. C. 128.

Barabash G.M., Huzil N.I., Oliskevich M.O. Mixed problem for semilinear ultraparabolic system // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. Donetsk, 2003. P. 15.

Гузіль Н.І. Задача без початкових умов для гіперболічної системи першого порядку // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана. Тези доповідей. 27 червня 3 липня 2004, Чернівці. C. 31.

Гузіль Наталія. Задача без початкових умов для системи ультрапараболічних рівнянь // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (27 вересня 1 жовтня 2004р., м.Дрогобич). Тези доповідей. Львів, 2004. C. 67.