Возможности Mathcad - популярной системы компьютерной математики, предназначенной для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Особые средства оформления и работа с символами кириллицы.
Особый интерес представляют встраиваемые в систему электронные книги, содержащие справки и примеры применений системы по ряду разделов математики, механики, физики, электротехники и радиотехники, а также по интерфейсу системы. возможность использования функций других систем (Excel, Axum, MATLAB и др.) и фактическая интеграция с ними. существенно улучшенные средства форматирования графиков; По мере того как пользователь создает (средствами текстового, формульного и графического редакторов) в окне редактирования объекты (тексты, формулы, таблицы и графики), система сама составляет программу на некотором промежуточном языке связи, которая хранится в оперативной памяти до тех пор, пока не будет записана на диск в виде файла с расширением. mcd. Как только блок опознается, система автоматически запускает внутренние подпрограммы для выполнения необходимых действий, например, вычисления по формуле, вывода таблицы значений вектора, построения рисунка по его шаблону и т. д. Начиная с версии Mathcad PLUS 5.0 в систему введена возможность ее расширения функциями, которые задаются обычными программами на языке С или C .С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами.
Введение
Математические и научно-технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ, написанных на языке высокого уровня, например, Бейсике или Паскале. Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные, подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов.
Это не вполне нормальное положение может изменить к лучшему применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов (Eureka, MATHCAD, MATLAB и др.).
В данном реферате рассматриваются возможности и эволюция одной из таких систем -MATHCAD.
Фирма MATHSOFTINC.(США) выпустила первую версию системы в 1986 г. Главная отличительная особенность системы MATHCAD заключается в ее входном языке, который максимально приближен к естественному математическому языку. В ходе работы с системой пользователь готовит так называемые документы. Они одновременно включают описания алгоритмов вычислений, программы управляющие работой систем, и результат вычислений. По внешнему виду тексты мало напоминают обычной программы.
Возможности системы
Mathcad -это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов - MATHEMATICA (математика) и CAD (COMPUTERAIDEDDESIGN - системы автоматического проектирования, или САПР). Так что вполне правомерно считать Mathcad математическими САПР.
К важным достоинствам новых версий Mathcad относятся настройка под любой маломальски известный тип печатающих устройств, богатый набор шрифтов, возможность использования всех инструментов Windows, прекрасная графика и современный многооконный интерфейс. В новые версии Mathcad включены эффективные средства оформления документов в цвете, возможность создания анимированных (движущихся) графиков и звукового сопровождения. Тут же текстовый, формульный и графический редакторы, объединенные с мощным вычислительным потенциалом. Предусмотрена и возможность объединения с другими математическими и графическими системами для решения особо сложных задач. Отсюда и название таких систем - интегрированные системы.
Эта система обеспечивает подлинную интеграцию с целым рядом других математических, графических и офисных систем. Для этого в нее включен специальный системный интегратор MATHCONNEX. Летом 1999 года выпущена новейшая версия системы - Mathcad 2000. В ней существенно увеличено число встроенных функций, улучшены графические возможности, повышены скорость вычислений и удобство работы.
Состав системы Mathcad
Как интегрированная система Mathcad 2000 содержит следующие основные компоненты: 1. Редактор документов - редактор с возможностью вставки математических выражений, шаблонов графиков и текстовых комментариев;
2. MATHCONNEX- системный интегратор, обеспечивающий интеграцию Mathcad с рядом иных программных продуктов;
3. Центр ресурсов - система управления ресурсами системы;
4. Электронные книги - электронные книги с описанием типовых расчетов в различных областях науки и техники;
5. Справочная система - система для получения справочных данных по тематическому и индексному каталогу, а также для поиска нужных данных по ключевому слову или фразе;
6.Быстрые шпаргалки QUICKSHEETS - короткие примеры с минимальными комментариями, описывающие применение всех встроенных операторов и функций системы;
Системы реализуют типовые и весьма обширные возможности Windows 95/98/NT, включая доступность множества шрифтов, работу со всеми типами принтеров, одновременное выполнение нескольких разнохарактерных задач и (в последних версиях) реализацию технологии обмена объектами OLE2. В режиме редактирования возможна одновременная работа с рядом документов и перенос объектов из одного окна в другое.
Предусмотрен также импорт любых графических изображений - от простых и специальных графиков функций до многокрасочных репродукций художественных произведений. Введены средства анимации рисунков и воспроизведения видеофайлов со звуковым стереофоническим сопровождением. Это наряду с улучшенной визуализацией сложных расчетов позволяет пользователю готовить электронные статьи и книги высокого качества. Начиная с версии Mathcad 8.0, было предусмотрено упрощенное построение двумерных графиков и вращение трехмерных графиков мышью. Теперь в версию Mathcad 2000 введено упрощенное построение и трехмерных графиков.
Особый интерес представляют встраиваемые в систему электронные книги, содержащие справки и примеры применений системы по ряду разделов математики, механики, физики, электротехники и радиотехники, а также по интерфейсу системы. Справки содержат математические формулы и иллюстрации. Можно выделить нужную справку (формулу или рисунок) и перенести ее в текст документа. Библиотеки и пакеты расширений системы Mathcad 2000 - еще одно мощнейшее средство расширения возможностей системы и ее профессиональной ориентации на решение задач в различных предметных областях. Особо надо отметить системный интегратор MATHCONNEX. По существу это отдельное приложение, обеспечивающее использование в составе одного документа блоков из разных систем, например Mathcad, Excel, MATLAB и др. Интеграции различных математических и графических систем, несомненно, принадлежит будущее компьютерной математики, и MATHCONNEX - хорошее начало этому.
Важно отметить, что Mathcad не только средство для решения математических задач. Это, по существу, мощная математическая САПР, позволяющая готовить на высочайшем полиграфическом уровне любые относящиеся к науке и технике материалы - документацию, научные отчеты, книги и статьи, диссертации, дипломные и курсовые проекты и т. д. При этом в них одновременно могут присутствовать тексты сложного вида, любые математические формулы, графики функций и различные иллюстративные материалы.
Особенности новых версий Mathcad
Mathcad - бурно развивающаяся система. Ее новые версии выходят чуть ли не ежегодно.
Новые ВЕРСИИMATHCADОТЛИЧАЮТСЯ рядом принципиальных особенностей: естественное выделение частей математических выражений мышью;
задание в первый раз для данной переменной ее значения или значений нажатием клавиши = (при этом на экране выводится знак присваивания: =), при повторном использовании клавиши == для этой же переменной выводится ее текущее значение;
быстрое построение"(QUICKPLOT) графиков в Декартовых и полярных координатах с автоматической установкой пределов изменения независимых переменных;
новая палитра символьной математики с расширенными операторами;
более удобный и наглядный синтаксис символьных операций;
возможность обработки ошибок в ходе вычислений;
новые инструкции on error.continuen return;
применение в программах операторов символьных операций;
новый тип строковых данных, констант и переменных;
восемь новых функций для работы со строковыми данными; задание размерных величин в системе СИ;
возможность подготовки сложных документов разными пользователями, работающими в разных местах, с помощью операции Collaboratory;
возможность обмена документами через Интернет;
появление более оперативного центра ресурсов (RESOURCECENTER) вместо «быстрых шпаргалок» QUICKSHEET, электронных книг, самоучителя и др.;
моделирование (симулирование) работы сложных систем, построенных из функциональных блоков, с помощью системы MATHCONNEX, имеющей 16 компонентов;
возможность использования функций других систем (Excel, Axum, MATLAB и др.) и фактическая интеграция с ними. существенно улучшенные средства форматирования графиков;
просмотр графиков в увеличенном масштабе;
применение улучшенной (более плавной) функциональной окраски поверхностей;
возможность изображения на одном трехмерном графике поверхностей и фигур разного типа;
возможность изображения на одном трехмерном графике разных объектов, пересекающихся в пространстве;
возможность вращения трехмерных графиков в пространстве мышью;
анимация трехмерных графиков при нажатии клавиши Shift. улучшен интерфейс системы, в частности интеграция с Интернетом перенесена в центр ресурсов;
введен ряд новых функций для финансово-экономических расчетов, создания матриц трехмерных поверхностей, численного решения дифференциальных уравнений в составе блока Given, контроля типа размерных переменных и др.;
введен набор функций для выполнения регрессии - экспоненциальной, логарифмической, синусоидальной и др.;
введен набор логических операторов;
расширены возможности функции root - теперь она может искать корень не только по заданному приближению (функция с двумя параметрами), но и в заданном интервале (функция с четырьмя параметрами).
Из этих внушительных списков новых возможностей разных версий системы Mathcad отчетливо видно, что система быстро развивается, становясь все более мощной и удобной.
Входной язык
Понятие о документах
Отличительной чертой Mathcad являются так называемые документы, которые объединяют описание математического алгоритма решения задачи (или ряда задач) с текстовыми комментариями и результатами вычислений, заданными в форме символов, чисел, таблиц или графиков. В оригинале документы системы Mathcad названы английским словом Worksheets. В научном мире длинные листы бумаги с текстами, формулами и графиками шутливо называют рабочими «простынями» - так и переводится слово Worksheets буквально.
Фактически документы Mathcad объединяют Код, написанный на визуально-ориентированном языке программирования Mathcad, с результатами его работы и текстовыми и формульными комментариями. Напомним, что визуально-ориентированные языки программирования задают программу не в виде малопонятных кодов, а в виде визуально понятных объектов. Язык программирования Mathcad ориентирован на математические вычисления и потому практически не отличается от обычного языка математических статей, отчетов и книг. Это огромное достоинство системы Mathcad, которое делает документы Mathcad вполне ясными даже школьникам и студентам младших курсов вузов, имеющим элементарные знания по математике.
Итак, уникальное свойство Mathcad - возможность описания математических алгоритмов в естественной математической форме с применением общепринятой символики для математических знаков, таких, например, как квадратный корень, знак деления в виде горизонтальной черты, знак интеграла и т. д. Это делает документ, видимый на экране дисплея, чрезвычайно похожим на страницы текста математических книг или научных статей.Такой подход значительно облегчает восприятие математической сущности решаемой задачи и избавляет пользователя от изучения некоторого промежуточного языка программирования (например Фортрана, Бейсика, Паскаля и т. д.). Можно сказать, что в Mathcad идея решения математических задач без их программирования доведена до высшего совершенства - подавляющее большинство задач требуют лишь корректного формульного описания решениям не нуждаются в подготовке программ в их общепринятом понимании.
Особые средства оформления
Последние версии системы Mathcad предоставляют новые средства для подготовки сложных документов, именуемых электронными документами. В них предусмотрено красочное выделение отдельных формул, многовариантный вызов одних документов из других, возможность закрытия «на замок» (и «открытия» при указании пароля) отдельных частей документов, гипертекстовые и гипермедиассылки и т. д. Это позволяет создавать превосходные обучающие программы и целые книги по любым курсам, базирующимся на математическом аппарате.
Работа с символами кириллицы
Все версии Mathcad под Windows позволяют работать как с латинскими буквами, так и с кириллицей (буквами русского алфавита), греческим алфавитом и вообще с любыми символами, доступными в Windows. Более того, благодаря применению масштабируемых TTF- шрифтов можно управлять как размером символов, так и их начертанием (делая буквы прямыми или наклонными, тонкими или жирными). Все это дает возможность готовить документы и электронные книги высокого качества как на английском, так и на русском языках.
Понятие о входном языке общения и языке реализации Mathcad mathcad математический автоматизация символ
Как следует из вышесказанного, общение пользователя с системой Mathcad происходит на уровне так называемого входного языка, максимально приближенного к обычному языку описания математических задач. Поэтому решение таких задач не требует программирования в общепринятом смысле - написания программ на некотором промежуточном языке или в машинных кодах.
Входной язык Mathcad относится к интерпретируемому типу. Это означает, что, когда система опознает какой-либо объект, она немедленно исполняет указанные в блоке операции. Объектами системы могут быть формульные, текстовые и графические блоки. При этом формульные блоки могут иметь особые признаки - атрибуты, например, активности, пассивности и оптимизации.
Важно сразу учесть, что Mathcad выполняет действия над блоками в строго определенном порядке - блоки анализируются (оцениваются) слева направо и сверху вниз. Это означает, что блоки нельзя располагать в документе произвольно. Блоки, готовящие какие-либо операции, должны предшествовать блокам, которые выполняют эти операции. Исключением являются блоки с глобальным определением (они также будет рассмотрены позже). Их можно располагать в любом месте документа, например в конце.
В подавляющем большинстве расчетных задач входной язык общения с Mathcad позволяет задавать их решение в виде вводимых с помощью операторов и функций математических формул и указывать тип желаемых результатов (таблицы или графики). Специальные приемы предусмотрены лишь для задания циклического изменения переменных и создания так называемых ранжированных переменных, имеющих набор значений.
Визуально-ориентированный язык общения системы Mathcad надо отличать от языка реализации системы, то есть обычного языка программирования высокого уровня, на котором написана система. Языком реализации системы Mathcad является один из самых мощных языков высокого уровня - C .
По существу, входной язык системы - промежуточное звено между скрытым от пользователя языком документа и языком реализации системы. По мере того как пользователь создает (средствами текстового, формульного и графического редакторов) в окне редактирования объекты (тексты, формулы, таблицы и графики), система сама составляет программу на некотором промежуточном языке связи, которая хранится в оперативной памяти до тех пор, пока не будет записана на диск в виде файла с расширением. mcd. Однако важно подчеркнуть, что от пользователя не требуется знание языков программирования (реализации и связи), достаточно освоить приближенный к естественному математическому языку входной язык системы.
В Mathcad эффективно решена проблема сквозной передачи данных от одного объекта к другому, например, от одного математического выражения к другому, от него к таблицам, от таблиц к графикам и т. д. Поэтому изменение в любой формуле или в задании входных данных тут же ведет к пересчету задачи по всей цепи взаимодействия объектов (это не относится, однако, к символьным операциям, реализуемым с помощью команд меню).
Средства повышения эффективности вычислений и их оптимизация
Как отмечалось, входной язык системы Mathcad - интерпретируемый.
Как только блок опознается, система автоматически запускает внутренние подпрограммы для выполнения необходимых действий, например, вычисления по формуле, вывода таблицы значений вектора, построения рисунка по его шаблону и т. д. Интерпретаторы работают медленно, поэтому не случайно, что пользователи, работавшие со старыми версиями Mathcad, отмечали медлительность систем, особенно при сложных вычислениях и при построении графиков. Медлительность является и следствием работы системы в графическом режиме, когда малейшее изменение содержания экрана требует его полной перерисовки.
В последние версии Mathcad введена экспертная система SMARTMATH. Эта система старается использовать при численных вычислениях конечные формулы, полученные в результате символьных (аналитических) преобразований. Часто (хотя и не всегда) это дает значительное ускорение вычислений в сравнении с их реализацией численными методами.
Операция оптимизации вычислений с помощью системы SMARTMATH вводится специальными атрибутами (знак * у формул) и словами - директивами. Их число в новых версиях Mathcadзначительно увеличено, и для ввода операторов и директив символьной математики добавлена специальная палитра.
Средства расширения систем Mathcad
Начиная с версии Mathcad PLUS 5.0 в систему введена возможность ее расширения функциями, которые задаются обычными программами на языке С или C . Однако это не позволяет эффективно и просто решить проблему расширения. На С или C хорошо программируют системные программисты, но они весьма редко разбираются в сути математических задач. Как отмечалось, начиная с версии Mathcad PLUS 6.0 у системы появилась весьма изящная возможность записи встроенных в документ программных модулей, реализующих типовые управляющие структуры и записанных в виде обычных программ.
Однако в наивысшей степени средства расширения системы Mathcad представлены сменными проблемно-ориентированными электронными книгами, библиотеками и пакетами расширения. Они позволяют настроить систему на наиболее эффективное решение задач в любой области науки и техники - в математике, физике и химии, в астрономии, механике, электротехнике и радиотехнике, в биологии и экономике, в финансах, статистике и т. д.
Электронные книги - это пакеты для решения задач в определенной области науки и техники, ориентированные на типовые средства систем класса Mathcad.
Пакеты расширения - это укрупненные библиотеки, поставляемые с электронными книгами, учитывающими новые операторы и функции, которые пакеты расширения вводят в базовую систему Mathcad. Входящие в них электронные книги нельзя использовать без соответствующих библиотек.
Библиотеки - это комплекты электронных книг и пакетов расширения.
Приемы работы с системой MATHCAD
Документ программы MATHCAD называется рабочим листом. Он содержит объекты: Формулы и текстовые блоки. В ходе расчетов формулы обрабатываются последовательно, слева направо и сверху вниз, а текстовые блоки игнорируются. Ввод информации осуществляется в месте расположения курсора. Программа MATHCAD использует три вида курсоров. Если ни один объект не выбран, используется крестообразный курсор, определяющий место создания следующего объекта. При вводе формул используется уголковый курсор, указывающий текущий элемент выражения. При вводе данных в текстовый блок применяется текстовый курсор в виде вертикальной черты.
Ввод формул
Формулы - основные объекты рабочего листа. Новый объект по умолчанию является формулой. Чтобы начать ввод формулы, надо установить крестообразный курсор в нужное место и начать ввод букв, цифр, знаков операций. При этом создается область формулы, в которой появляется уголковый курсор, охватывающий текущий элемент формулы, например имя переменной (функции) или число. При вводе бинарного оператора по другую сторону знака операции автоматически появляется заполнитель в виде черного прямоугольника. В это место вводят очередной операнд. Для управления порядком операций используют скобки, которые можно вводить вручную. Уголковый курсор позволяет автоматизировать такие действия. Чтобы выделить элементы формулы, которые в рамках операции должны рассматриваться как единое целое, используют клавишу ПРОБЕЛ. При каждом ее нажатии уголковый курсор «расширяется», охватывая элементы формулы, примыкающие к данному. После ввода знака операции элементы в пределах уголкового курсора автоматически заключаются в скобки. Элементы формул можно вводить с клавиатуры или с помощью специальных панелей управления. Панели управления (рис. 1) открывают с помощью меню View (Вид) или кнопками панели управления Math (Математика).
Для ввода элементов формул предназначены следующие панели: панель управления Arithmetic (Счет) для ввода чисел, знаков типичных математических операций и наиболее часто употребляемых стандартных функций;
панель управления Evaluation (Вычисление) для ввода операторов вычисления и знаков логических операций;
панель управления Graph (График) для построения графиков;
панель управления Matrix (Матрица) для ввода векторов и матриц и задания матричных операций;
панель управления Calculus (Исчисление) для задания операций, относящихся к математическому анализу;
панель управления Greek (Греческий алфавит) для ввода греческих букв (их можно также вводить с клавиатуры, если сразу после ввода соответствующего латинского символа нажимать сочетание клавиш CTRL G, например [a][CTRL G] - a, [W][CTRL G]-W);
панель управления Symbolic (Аналитические вычисления) для управления аналитическими преобразованиями.
Введенное выражение обычно вычисляют или присваивают переменной. Для вывода результата выражения используют знак вычисления, который выглядит как знак равенства и вводится при помощи кнопки EVALUATEEXPRESSION (Вычислить выражение) на панели инструментов Evaluation (Вычисление).
Рисунок 1 - Панели инструментов программы Mathcad для ввода формул
Знак присваивания изображается как «:=», а вводится при помощи кнопки ASSIGNVALUE (Присвоить значение) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Слева от знака присваивания указывают имя переменной. Оно может содержать латинские и греческие буквы, цифры, символы «?»,«_» и «?», а также описательный индекс. Описательный индекс вводится с помощью символа «.» и изображается как нижний индекс, но является частью имени переменной, например Vinit . «Настоящие» индексы, определяющие отдельный элемент вектора или матрицы, задаются по-другому.
Переменную, которой присвоено значение, можно использовать далее в документе в вычисляемых выражениях. Чтобы узнать значение переменной, следует использовать оператор вычисления.
Примеры ввода формул:
Ввод текста
Текст, помещенный в рабочий лист, содержит комментарии и описания и предназначен для ознакомления, а не для использования в расчетах. Программа MATHCAD определяет назначение текущего блока автоматически при первом нажатии клавиши ПРОБЕЛ. Если введенный текст не может быть интерпретирован как формула, блок преобразуется в текстовый и последующие данные рассматриваются как текст. Создать текстовый блок без использования автоматических средств позволяет команда Insert>TEXTREGION (Вставка > Текстовый блок).
Иногда требуется встроить формулу внутрь текстового блока. Для этого служит команда Insert>MATHREGION (Вставка > Формула).
Форматирование формул и текста
Для форматирования формул и текста в программе MATHCAD используется панель инструментов Formatting (Форматирование). С ее помощью можно индивидуально отформатировать любую формулу или текстовый блок, задав гарнитуру и размер шрифта, а также полужирное, курсивное или подчеркнутое начертание символов. В текстовых блоках можно также задавать тип выравнивания и применять маркированные и нумерованные списки.
В качестве средств автоматизации используются стили оформления. Выбрать стиль оформления текстового блока или элемента формулы можно из списка Style (Стиль) на панели инструментов Formatting (Форматирование). Для формул и текстовых блоков применяются разные наборы стилей. Чтобы изменить стиль оформления формулы или создать новый стиль, используется команда FORMATEEQUATION (Формат ^ Выражение). Изменение стандартных стилей Variables (Переменные) и Constants (Константы) влияет на отображение формул по всему документу. Стиль оформления имени переменной учитывается при ее определении. Так, переменные хил- рассматриваются как различные и не взаимозаменяемы. При оформлении текстовых блоков можно использовать более обширный набор стилей. Настройка стилей текстовых блоков производится при помощи команды Format>Style
(Формат > Стиль).
Работа с матрицами
Векторы и матрицы рассматриваются в программе MATHCAD как одномерные и двумерные массивы данных. Число строк и столбцов матрицы задается в диалоговом окне INSERTMATRIX (Вставка матрицы), которое открывают командой Insert>Matrix (Вставка > Матрица). Вектор задается как матрица, имеющая один столбец.
После щелчка на кнопке ОК в формулу вставляется матрица, содержащая вместо элементов заполнители. Вместо каждого заполнителя надо вставить число, переменную или выражение.
Для матриц определены следующие операции: сложение, умножение на число, перемножение и прочие. Допустимо использование матриц вместо скалярных выражений: в этом случае предполагается, что указанные действия должны быть применены к каждому элементу матрицы, и результат также представляется в виде матрицы. Например, выражение М 3, где М - матрица, означает, что к каждому элементу матрицы прибавляется число 3. Если требуется явно указать необходимость поэлементного применения операции к матрице, используют знак векторизации, для ввода которого служит кнопка Vectorize (Векторизация) на панели инструментов Matrix (Матрица). Например:
Рисунок 2 - Вычисление матриц
Для работы с элементами матрицы используют индексы элементов. Нумерация строк и столбцов матрицы начинается с нуля. Индекс элемента задается числом, переменной или выражением и отображается как нижний индекс. Он вводится после щелчка на кнопке Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix (Матрица). Пара индексов, определяющих элемент матрицы, разделяется запятой. Иногда (например, при построении графиков) требуется выделить вектор, представляющий собой столбец матрицы. Номер столбца матрицы отображается как верхний индекс, заключенный в угловые скобки, например М . Для его ввода используется кнопка MATRIXCOLUMN (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица). Чтобы задать общую формулу элементов матрицы, типа МІ,J := i j, используют диапазоны. Диапазон фактически представляет собой вектор, содержащий арифметическую прогрессию, определенную первым, вторым и последним элементами. Чтобы задать диапазон, следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго и через точку с запятой значение последнего элемента. Точка с запятой при задании диапазона отображается как две точки (..). Диапазон можно использовать как значение переменной, например x:= 0,0.01.. 1.
Если разность прогрессии равна единице (то есть, элементы просто нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают. Например, чтобы сформировать по приведенной выше формуле матрицу размером 6х6, перед этой формулой надо указать i := 0..5 j:= 0..5. При формировании матрицы путем присвоения значения ее элементам, размеры матрицы можно не задавать заранее. Всем неопределенным элементам автоматически присваиваются нулевые значения. Например, формула М5,5 := 1 создает матрицу М размером 6х6, у которой все элементы, кроме расположенного в правом нижнем углу, равны 0.
Стандартные и пользовательские функции
Произвольные зависимости между входными и выходными параметрами задаются при помощи функций. Функции принимают набор параметров и возвращают значение, скалярное или векторное (матричное). В формулах можно использовать стандартные встроенные функции, а также функции, определенные пользователем.
Чтобы использовать функцию в выражении, надо определить значения входных параметров в скобках после имени функции. Имена простейших математических функций можно ввести с панели инструментов Arithmetic (Счет). Информацию о других функциях можно почерпнуть в справочной системе. Вставить в выражение стандартную функцию можно при помощи команды Insert>Function (Вставка > Функция). В диалоговом окне INSERTFUNCTION (Вставка функции) слева выбирается категория, к которой относится функция, а справа - конкретная функция. В нижней части окна выдается информация о выбранной функции. При вводе функции через это диалоговое окно автоматически добавляются скобки и заполнители для значений параметров.
Пользовательские функции должны быть сначала определены. Определение задается при помощи оператора присваивания. В левой части указывается имя пользовательской функции и, в скобках, формальные параметры - переменные, от которых она зависит. Справа от знака присваивания эти переменные должны использоваться в выражении. При использовании пользовательской функции в последующих формулах ее имя вводят вручную. В диалоговом окне INSERTFUNCTION (Вставка функции) оно не отображается.
Приведем обозначения основных из них: 1. Тригонометрические и обратные функции: sin(z), cos(z), tan(z), asin(z), acos(z), atan(z) z - угол в радианах
8. Корреляционная функция - позволяет рассчитывать коэффициент корреляции двух векторов vx и vy и определить уравнение линейной регрессии: corr(vx,vy) - коэффициент корреляции slope(vx,vy) - коэффициент наклона линии регрессии intercept(vx,vy) - начальная координата линии регрессии
9. Линейная интерполяция: linterp(vx,vy,x) vx,vy- векторы значений аргумента и функций. x- значение аргумента, для которого проводится интерполяция
10.Функция для определения корней алгебраических и трансцендентных уравнений: root(уравнения, переменная) - значение переменной, когда уравнение равно нулю
11.Датчик случайных чисел: rnd(x) - случайное число с равномерным распределением от 0 до x
12.Целая часть переменной: floor(x)- ближайшее наименьшее целое число ceil(x)- ближайшее наибольшее целое число
13.Выделение остатка: mod(x,y)- остаток от деления x на y
14.Остановка итерации: until(x,y) - когда x<0
15.Функция условного перехода: if(условие,x,y) - если условие выполняется, то функция равняется x, иначе y
16.Единичная функция (функция Хевисайда): Ф(x) - если x>0. То функция равна 1, иначе 0
17.Логические выражения и операции. Простейшими видами логических выражений являются следующие: логическая константа, логическая константа, логическая константа, логическая переменная, выражение отношения. Например, при x:=0.5 операции отношения присваивают L истину или ложь (1 или 0): L := x?1 L=0
L := x?1 L=0
L := x»1 L=0
L := x<1 L=1
L := x>1 L=0
18.Функции, определяемые пользователем. Пользователь может самостоятельно определить необходимые ему функции, отсутствующие среди встроенных функций пакета.
Решение уравнений и систем
Для численного поиска корней уравнения в программе MATHCAD используется функция root. Она служит для решения уравнений вида f(x) = 0, где f (х) - выражение, корни которого нужно найти, a x - неизвестное. Для поиска корней с помощью функции root, надо присвоить искомой переменной начальное значение, а затем вычислить корень при помощи вызова функции: root (f(x),x). Здесь f(x) - функция переменной х, используемой в качестве второго параметра. Функция root возвращает значение независимой переменной, обращающее функцию f(x) в 0. Например:
Рисунок 3 - Решение уравнений и систем
Если уравнение имеет несколько корней (как в данном примере), то результат, выдаваемый функцией root, зависит от выбранного начального приближения. Если надо решить систему уравнений (неравенств), используют так называемый блок решения, который начинается с ключевого слова given(дано) и заканчивается вызовом функции find(найти). Между ними располагают «логические утверждения», задающие ограничения на значения искомых величин, иными словами, уравнения и неравенства. Всем переменным, используемым для обозначения неизвестных величин, должны быть заранее присвоены начальные значения.
Чтобы записать уравнение, в котором утверждается, что левая и правая части равны, используется знак логического равенства - кнопка BOOLEANEQUALS (Логически равно) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Другие знаки логических условий также можно найти на этой панели. Заканчивается блок решения вызовом функции find, у которой в качестве аргументов должны быть перечислены искомые величины. Эта функция возвращает вектор, содержащий вычисленные значения неизвестных.
Построение графиков
Чтобы построить двумерный график в координатных осях Х-У, надо дать команду
Insert>Graph> X-Y Plot (Вставка > График > Декартовы координаты). В области размещения графика находятся заполнители для указания отображаемых выражений и диапазона изменения величин. Заполнитель у середины оси координат предназначен для переменной или выражения, отображаемого по этой оси. Обычно используют диапазон или вектор значений. Граничные значения по осям выбираются автоматически в соответствии с диапазоном изменения величины, но их можно задать и вручную. В одной графической области можно построить несколько графиков. Для этого надо у соответствующей оси перечислить несколько выражений через запятую. Разные кривые изображаются разным цветом, а для форматирования графика надо дважды щелкнуть на области графика. Для управления отображением построенных линий служит вкладка Traces (Линии) в открывшемся диалоговом окне. Текущий формат каждой линии приведен в списке, а под списком расположены элементы управления, позволяющие изменять формат. Поле LEGENDLABEL (Описание) задает описание линии, которое отображается только при сбросе флажка HIDELEGEND (Скрыть описание). Список Symbol (Символ) позволяет выбрать маркеры для отдельных точек, список Line (Тип линии) задает тип линии, список Color (Цвет) - цвет. Список Type (Тип) определяет способ связи отдельных точек, а список Width (Толщина) - толщину линии. Точно так же можно построить и отформатировать график в полярных координатах. Для его построения надо дать команду Insert>Graph>POLARPLOT (Вставка > График >Полярные координаты). Для построения простейшего трехмерного графика, необходимо задать матрицу значений. Отобразить эту матрицу можно в виде поверхности - Insert>Graph>SURFACEPLOT (Вставка > График > Поверхность), столбчатой диаграммы - Insert>Graph>3D BARPLOT(Вставка > График > Столбчатая диаграмма) или линий уровня - Insert>Graph>CONTOURPLOT (Вставка > График > Линии уровня).
Для отображения векторного поля при помощи команды Insert>Graph>VECTORFIELDPLOT (Вставка > График > Поле векторов) значения матрицы должны быть комплексными. В этом случае в каждой точке графика отображается вектор с координатами, равными действительной и мнимой частям элемента матрицы. Во всех этих случаях после создания области графика необходимо указать вместо заполнителя имя матрицы, содержащей необходимые значения. Для построения параметрического точечного графика командой
Insert>Graph> 3D SCATTERPLOT (Вставка > График > Точки в пространстве) необходимо задать три вектора с одинаковым числом элементов, которые соответствуют х-, у- и z-координатам точек, отображаемых на графике. В области графика эти три вектора указываются внутри скобок через запятую. Аналогичным образом можно построить поверхность, заданную параметрически. Для этого надо задать три матрицы, содержащие, соответственно, х-, у- и z-координаты точек поверхности. Теперь надо дать команду построения поверхности Insert>Graph>SURFACEROT (Вставка > График >Поверхность) и указать в области графика эти три матрицы в скобках и через запятую. Таким образом можно построить практически любую криволинейную поверхность, в том числе с самопересечениями.
Рисунок 4 - Построение графиков
Аналитические вычисления
С помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные решения уравнений и систем, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить нечисловой результат. В программе MATHCAD конкретные значения, присвоенные переменным, при этом игнорируются - переменные рассматриваются как неопределенные параметры. Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Symbolics (Аналитич
Вывод
Сегодня различные версии Mathcad являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.
