Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек - Лабораторная работа

Изложению исследования внешней геометрии поверхностей с постоянным типом точек посвящена данная работа. Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Дифференциальная геометрия на протяжении XIX в. развивалась в тесном контакте с механикой и анализом, в особенности с теорией дифференциальных уравнений в частных производных. Так как в этот период в анализе много занимались вопросами формального интегрирования, то и для дифференциальной геометрии была естественной проблематика формально-аналитического направления. Но здесь весьма существенно заметить следующее: в то время как те отделы геометрии "в целом", где изучались свойства твердой поверхности, уже давно располагали довольно развернутой системой общих методов (по крайней мере, для выпуклых поверхностей), исследования деформаций поверхностей и связей между их внутренними и внешними свойствами ("в целом") носили отрывочный характер.Поверхность S, заданную векторным уравнением , будем называть-регулярной, если в области задания параметров D функция имеет непрерывные производные порядка k (k 2) и во всех точках области D выполняется неравенство . Выберем на поверхности S некоторую точку и рассмотрим плоскость , которая касается поверхности S в этой точке. Отклонение положительно, если точка и конец вектора лежат по одну сторону от плоскости и отрицательно, если эти точки лежат по разные стороны от плоскости (рисунок 1). Тогда любое другое направление на поверхности в точке можно задавать при помощи угла , который оно образует с выбранным направлением (рис.2). Покажем, что в этом случае в точке можно указать два коллинеарных направления на поверхности, обладающих следующими свойствами: а) для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма поверхности, вычисленная в точке , обращается в нуль;Множество М в трехмерном евклидовом пространстве называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя его точками X и Y содержит соединяющий их прямолинейный отрезок (рис.8). Прямая g, проходящая через точку Х границы выпуклой области G, называется опорной, если вся область располагается в одной из полуплоскостей, определяемых этой прямой. Если выпуклая кривая является границей выпуклой области G или частью ее границы, то опорная прямая в каждой точке кривой к области G называется также опорной прямой кривой . Именно, точка Х выпуклой кривой называется гладкой, если через эту точку проходит единственная опорная прямая. Именно, плоскость , проходящая через граничную точку Х тела К, называется опорной в этой точке Х, если все точки тела расположены по одну сторону от плоскости , т.е. в одном из определяемых ею полупространств.При сферическом изображении выпуклой поверхности направление обхода сферического образа площадки на поверхности совпадает с направлением обхода самой этой площадки. 2.Множество тех точек сферического изображения выпуклой поверхности, у каждой из которых есть по крайней мере два прообраза на поверхности, имеет площадь, равную нулю. Для внешних кривизн выпуклых поверхностей имеют место следующие теоремы о сходимости: 1.Если последовательность выпуклых поверхностей сходится к выпуклой поверхности F и последовательность замкнутых множеств , лежащих на поверхностях , сходится к замкнутому множеству М на F, то , где обозначает внешнюю кривизну соответствующего множества. 2.Пусть последовательность выпуклых поверхностей сходится к выпуклой поверхности F, и G - открытые множества на поверхностях и F, а и - замыкания этих множеств. Тогда, если множества сходятся к , а множества сходятся к F-G, и внешние кривизны множеств сходятся к внешней кривизне , то внешние кривизны сходятся к внешней кривизне G.Каждая область G на выпуклой поверхности имеет определенную площадь S(G) и кривизну . Если для всех областей G на выпуклой поверхности удельная кривизна ограничена некоторой постоянной, то такая поверхность называется поверхностью ограниченной кривизны. Теорема: Если последовательность выпуклых поверхностей с равномерно ограниченными удельными кривизнами сходится к поверхности F, то эта поверхность является поверхностью ограниченной кривизны [11, стр.39]. Удельная кривизна выпуклой поверхности в точке Х, т.е. предел , когда область G стягивается к точке Х, называется гауссовой кривизной поверхности в этой точке. Если, кроме того, поверхность имеет определенную гауссову кривизну в каждой точке, то метрику поверхности в параметризованной окрестности можно задать линейным элементом , где коэффициент G является непрерывной дважды дифференцируемой по r функцией.Не так обстоит дело для поверхности в целом. Так как согласно теореме Гаусса при изометрических отображениях мера кривизны остается неизменной, то теорема Либмана может быть сформулирована следующим образом: сфера является единственной замкнутой поверхностью, имеющей постоянную кривизну. В самом деле, если мы отсечем от сферы ее сегмент и заменим это сегмент зеркальным его отображением относительно плоскости сечения, то мы получи

Содержание

Введение

1. Классификация точек регулярной поверхности

2. Выпуклые тела и поверхности

2.1 Основные понятия

2.2 Кривизна

2.3 Удельная кривизна выпуклой поверхности

2.4 Неизгибаемость сферы

2.5 Сфера как единственная овальная поверхность постоянной средней кривизны

3. Седловые поверхности

3.1 Основные понятия и свойства

3.2 Неограниченность седловых трубок

3.3 Проблема Плато

3.4 Полные седловые поверхности со взаимно однозначным сферическим изображением

Заключение

Список литературы

Изложению исследования внешней геометрии поверхностей с постоянным типом точек посвящена данная работа. В нее вошли вопросы, относящиеся к выпуклым и седловым поверхностям.

Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов, их исследованию посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер.

Дифференциальная геометрия на протяжении XIX в. развивалась в тесном контакте с механикой и анализом, в особенности с теорией дифференциальных уравнений в частных производных. Так как в этот период в анализе много занимались вопросами формального интегрирования, то и для дифференциальной геометрии была естественной проблематика формально-аналитического направления. Основным объектом теории поверхностей были регулярные поверхности, рассматриваемые "в малом".

В XX в., даже в начале его, вопросы формального характера уже никак не могли считаться актуальными для механики и анализа. Между тем в теории поверхностей подавляющее большинство исследований все еще продолжало традиции XIX в. Таким образом, между классической теорией поверхностей, с одной стороны, анализом и механикой - с другой, образовался разрыв. Более современные проблемы и качественные методы анализа и механики оказались чуждыми классической теории поверхностей. И внутри классической теории поверхностей наметилась новая ветвь, предметом которой оставались регулярные поверхности, но исследуемые "в целом"; эта ветвь также смыкалась с современным анализом. Но здесь весьма существенно заметить следующее: в то время как те отделы геометрии "в целом", где изучались свойства твердой поверхности, уже давно располагали довольно развернутой системой общих методов (по крайней мере, для выпуклых поверхностей), исследования деформаций поверхностей и связей между их внутренними и внешними свойствами ("в целом") носили отрывочный характер. Все это объясняется тем, что геометры, работавшие в области геометрии "в целом", подходили к задачам этой области все еще со средствами классического анализа, который здесь в большинстве случаев оказывается мало пригодным. Для успешного развертывания содержательной теории поверхностей оказалось настоятельно необходимым построить систему общих прямых методов исследования внутренних свойств поверхности. Это и было сделано А. Д. Александровым (при участии его учеников И. М. Либермана и С. П. Оловянишникова). Выпуклые поверхности, естественно, представляют собой особенно благоприятное поле для конкретных и геометрически наглядных результатов. Но дело не только в отдельных результатах. Для развития каждого отдела математики важен общий уровень его проблем и методов, важно, чтобы этот уровень соответствовал прогрессу науки. Для развития теории поверхностей важно, чтобы она не была изолированной, замкнутой в себе дисциплиной. Исследования А. Д. Александрова, А.В.Погорелова, А.Л.Вернера и других математиков потому, именно, имеют большое значение для теории поверхностей, что они открывают в ней новые области проблем и соответствующих им методов, идущих в ногу с прямыми методами современного анализа.

Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к этой теме в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.

Целью исследования является изучение теоретических аспектов темы "Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек" с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.