Властивості рухів у випадку Ейлера для узагальнених рівнянь Ейлера-Пуассона - Автореферат

Зокрема, встановлюються умови існування четвертого загального інтегралу типу Ейлера, розглядаються деякі типи рухів, вивчається їх стійкість за Ляпуновим та орбітальна стійкість. Частина узагальнень була повязана з вивченням нових фізичних явищ, наприклад, таких, як рух тіла в ідеальній рідині (В.А.Стєклов, Г.Р.Кірхгоф), з урахуванням циркуляції ідеальної рідини в многозвязній порожнині, що привело до задачі про рух гіростату (П.В.Харламов), з урахуванням вихрового руху рідини в порожнині (М. М. Існують і узагальнення, які мають лише математичний характер, коли критерієм звязку узагальнених рівнянь з їх класичним аналогом є вимагання існування у перших інтегралів типу інтегралів енергії i площ рівнянь Ейлера-Пуассона (Д.Гріолі, М.П.Харламов). Однак при цьому залишалось осторонь вивчення стійкості періодичних розвязків рівнянь Ейлера-Пуассона та їх узагальнень, зокрема, розвязків, які описуються еліптичними функціями часу. Але можна спробувати розглянути більш грубу властивість періодичних розвязків динамічних систем, у тому числі i розвязків рівнянь Ейлера-Пуассона та їх узагальнень - їх орбітальну стійкість, що дозволяє судити про структуру загального розвязку системи поблизу періодичного розвязку, що вивчається (О.Я.Савченко).В першому розділі подано огляд літератури, де окреслено основні етапи розвитку наукової думки з наступних питань: класична задача про рух твердого тіла навколо нерухомої точки та різні її узагальнення, стійкість за Ляпуновим стаціонарних рухів механічних систем, орбітальна стійкість періодичних розвязків динамічних систем. В другому розділі викладено загальні методи досліджень, які дозволяють виявити необхідні умови стійкості за Ляпуновим стаціонарних рухів на основі аналізу коренів характеристичного рівняння першого наближення, достатні умови стійкості стаціонарних розвязків та орбітальної стійкості періодичних розвязків автономних систем за допомогою їх перших інтегралів. В підрозділі 3.2 доведено: якщо сталі l та k інтегралів (4) та (2) відповідно звязані співвідношенням l=k, то рівняння (1) у випадку (3) мають двопараметричну сімю періодичних розвязків, які описуються еліптичними функціями часу таким чином w1=h1(t)=acns(t-t0), g1=AA1*h1(t), w2=h2(t)=bsns(t-t0), g2=AA2*h2(t), (5) w3=h3(t)=zdns(t-t0), g3=AA3*h3(t), де сталі a, b, z, s та a визначаються рівностями a=w10, b2= w102, z=w30, s2= w302, a2= . В підрозділі 4.1 встановлено: якщо параметри A1, A2, b звязані співвідношеннями A1>b, A2>b (i), то умови A1>A3, A2>A3(ii) є, як i в класичній задачі, необхідніми та достатніми для стійкості за Ляпуновим рівномірних обертань тіла навколо головної вісі, що колінеарна вектору ; якщо A1>b>A2, то такою умовою є A1>A3>A2, що принципово відрізняється від класичного випадку. На основі теореми Ляпунова про стійкість зроблено висновок, що регулярна прецесія в узагальненій задачі так само, як i в класичній задачі, стійка за Ляпуновим відносно величин q, , , при будь-яких значеннях q0, , , що повязані умовою (7).Запропоновано достатньо ефективний спосіб дослідження орбітальної стійкості періодичних розвязків автономних систем з першими інтегралами. Визначено умову існування для узагальнених рівнянь Ейлера-Пуассона у випадку типу Ейлера двопараметричної сімї періодичних розвязків, які описуються еліптичними функціями часу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Одержано достатні умови існування четвертого загального інтегралу типу Ейлера для узагальнених рівнянь Ейлера-Пуассона.

Запропоновано достатньо ефективний спосіб дослідження орбітальної стійкості періодичних розвязків автономних систем з першими інтегралами.

Визначено умову існування для узагальнених рівнянь Ейлера-Пуассона у випадку типу Ейлера двопараметричної сімї періодичних розвязків, які описуються еліптичними функціями часу. Виявлено орбітальну стійкість цих розвязків. Як наслідок доведено орбітальну стійкість періодичних розвязків класичних рівнянь Ейлера-Пуассона у випадку Ейлера.

Встановлено необхідні та достатні умови стійкості за Ляпуновим рівномірних обертань.

Визначено умови існування регулярної прецесії, виявлено її стійкість за Ляпуновим.

Кашта Н. Н. Орбитальная устойчивость двухпараметрического семейства периодических решений обобщенных уравнений Эйлера-Пуассона // Механика твердого тела. - 1997. - № 29. - С. 54 - 62.

Кашта Н. Н. Необходимые и достаточные условия устойчивости одного класса вращений в обобщенной задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки // Механика твердого тела.- 1997. - № 29. - С. 47-50.

Kashta N. N. Investigation of the generalized Euler-Poisson equations in case of Eulers type // Proceedings of the YUCTAM, Vrnjaиka Banja’97, XXII Yugoslav Congress of Theoretical and Applied Mechanics. - Belgrade (Yugoslavia). - 1997. - P. 53 - 56.

Кашта Н. Н. Случай типа Эйлера в обобщенной задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки // Сборник трудов победителей конкурса студенческих работ в области математики, механики и кибернетики. - Донецк: 1993. - С. 17 - 20. (Препр. / НАН Украины. Ин-т прикл. математики и механики; № 93.03).