Властивості розв’язків вироджених диференціальних рівнянь вищих порядків з обмеженнями на резольвенту поліноміального жмутка операторів - Автореферат

У дисертаційній роботі досліджується однорідне операторно-диференціальне рівняння вищого порядку, яке не розвязне відносно старшої похідної. Якщо оператор при старшій похідній є виродженим, то рівняння називають виродженим. Власенко розширила ці результати на випадок виродженого рівняння, а також одержала опис підпростору розвязків задачі Коші для виродженого рівняння першого порядку. Умови нетривіальності початкового многовиду й опис підпростору розвязків не було одержано для рівнянь вищого порядку. Метод стандартного зниження порядку приводить до рівняння першого порядку, взагалі кажучи, з незамкненими операторами, до якого неможливо застосувати відомі результати.Рівняння з оператором , який має нетривіальне ядро, називається виродженим. Вектор-функція називається розвязком рівняння , якщо вона при кожному задовольняє рівняння і має наступні властивості гладкості: ; Для задачі Коші , - кратним початковим многовидом називається множина всіх векторів , для яких задача , має розвязок. Neubrander та інших авторів під коректністю задачі - розумілась або неперервна залежність розвязку задачі від усіх початкових даних , або неперервна залежність розвязку та його похідних до порядку включно від тих самих початкових даних. Якщо - розвязок задачі Коші-, то при він виявляється нескінченно диференційовним і разом із похідними допускає інтегральне зображення через початкові дані: Інтегральне зображення дозволяє одержати наступні ознаки повнократної коректності та повнократної експоненціальної коректності задачі-.Описано підпростір розвязків задачі Коші для виродженого диференціального рівняння вищого порядку при степеневих обмеженнях на норму резольвенти відповідного характеристичного операторного жмутка цього рівняння у деякій правій півплощині. Досліджено - кратну коректність, - кратну рівномірну коректність й - кратну експоненціальну коректність задачі Коші для виродженого рівняння порядку , де Одержано інтегральне зображення розвязку цієї задачі та його похідних через початкові дані при експоненціальних оцінках на норму резольвенти характеристичного жмутка рівняння. Встановлено умови, за якими розвязки неявного операторно-диференціального рівняння вищого порядку та їх похідні до порядку включно апроксимуються лінійними комбінаціями елементарних розвязків. Одержано нову оцінку початкового моменту апроксимації розвязків неявного рівняння вищого порядку лінійними комбінаціями елементарних розвязків за умови, що резольвента характеристичного жмутка цього рівняння є мероморфною оператор-функцією скінченого степеня. При експоненціальних обмеженнях на зростання резольвенти у деяких кутах й послідовності прямих у комплексної площині доведено ознаки базисності канонічної системи елементарних розвязків у класі всіх розвязків і у класі нормальних розвязків з обмеженнями на показник експоненціального зростання.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

1. Описано підпростір розвязків задачі Коші для виродженого диференціального рівняння вищого порядку при степеневих обмеженнях на норму резольвенти відповідного характеристичного операторного жмутка цього рівняння у деякій правій півплощині. При степеневих обмеженнях на норму резольвенти у деякій правій півплощині або на прямій, паралельній мнимій осі, одержано умови нетривіальності початкового многовиду цієї задачі.

2. Досліджено - кратну коректність, - кратну рівномірну коректність й - кратну експоненціальну коректність задачі Коші для виродженого рівняння порядку , де Одержано інтегральне зображення розвязку цієї задачі та його похідних через початкові дані при експоненціальних оцінках на норму резольвенти характеристичного жмутка рівняння. За допомогою цього зображення встановлено ознаки - кратної коректності й - кратної експоненціальної коректності задачі Коші в термінах обмежень на зростання резольвенти у деякому куті комплексної площини або правій півплощині. У випадку гільбертового простору одержано умови коректності в термінах обмежень на операторні коефіцієнти рівняння.

3. Встановлено умови, за якими розвязки неявного операторно-диференціального рівняння вищого порядку та їх похідні до порядку включно апроксимуються лінійними комбінаціями елементарних розвязків. Одержано нову оцінку початкового моменту апроксимації розвязків неявного рівняння вищого порядку лінійними комбінаціями елементарних розвязків за умови, що резольвента характеристичного жмутка цього рівняння є мероморфною оператор-функцією скінченого степеня. Доведено нову ознаку повноти елементарних розвязків у класі всіх розвязків у випадку, коли резольвента може мати нескінченну степінь. Одержано ознаки повноти елементарних розвязків у класі експоненціально оцінених (нормальних) розвязків. При експоненціальних обмеженнях на зростання резольвенти у деяких кутах й послідовності прямих у комплексної площині доведено ознаки базисності канонічної системи елементарних розвязків у класі всіх розвязків і у класі нормальних розвязків з обмеженнями на показник експоненціального зростання. Встановлено умови, за яких ряд за канонічною системою елементарних розвязків служить асимптотичним зображенням при відповідного нормального розвязку неявного рівняння вищого порядку.

4. Наведено застосування абстрактних результатів до диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Публікації здобувача за темою дисертації

1. Власенко Л.А., Пивень А.Л. О базисности элементарных решений вырожденных линейных дифференциальных уравнений // Вісник Харківського університету, Серія "Математика, прикладна математика i механіка ". - 1999. - № 444. - С.94 - 100.

2. Пивень А.Л. Разрешимость задачи Коши и оценки начального многообразия для одного неявного операторно-дифференциального уравнения // Вісник Харківського університету, Серія "Математика, прикладна математика i механіка". - 1999.- № 458. - С. 101 - 108.

3. Пивень А.Л. Об асимптотическом поведении решений вырожденных линейных дифференциальных уравнений // Вісник Харківського університету. Серія “ Математика, прикладна математика i механіка ”.-2000.- № 475. - С. 334 - 340.

4. Пивень А.Л., Руткас А.Г. О корректности задачи Коши для операторно-дифференциальных уравнений высокого порядка // Доповіді НАН України.-2003.- № 5.-C. 32-37.

5. Власенко Л.А., Пивень А.Л., Руткас А.Г. Признаки корректности задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка // Укр. мат. журнал.-2004.-Т.56, № 11. - С.1484-1500.

6. Пивень А.Л. Признаки полноты элементарных решений вырожденных операторно - дифференциальных уравнений высокого порядка // Мат. физика, анализ, геометрия. - 2005. - Т.12, №1. - С. 86 - 102.

7. Власенко Л.А., Півень О.Л. Про єдиність і апроксимацію для однієї задачі Коші // Пята міжнародна конференція ім. академіка М. Кравчука. Тези доповідей. - К.: НТУУ (КПІ). - 1996. - С. 70.

8. Власенко Л.А., Півень О.Л. Повнота елементарних розвязків однієї мішаної задачі // Шоста міжнародна конференція ім. академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - К.: НТУУ(КПІ).-1997. - С. 82.

9. Rutkas A.G.,Piven A.L. Correctness conditions for a degenerate abstract Cauchy problem // Міжнародна конференція з функціонального аналізу. Тези доповідей. - К.: Ін-т математики НАН України. - 2001. - Р. 86.

10. Пивень А.Л. Непрерывная зависимость решений одной смешанной задачи от начальных данных // Міжнародна наукова конференція "Шості Боголюбовські читання". Тези доповідей. - К.: Ін-т математики НАН України. - 2003. - С.176.

Размещено на .ru