Застосування оцінок фундаментальної матриці розв"язків і матриці Гріна за умов доведення теорем про стійкість розв"язкiв задачі Коші. Встановлення коректної розв"язності та інтегрального зображення розв"язків крайових задач без початкових умов.
Аннотация к работе
Ці умови полягали в тому, що для ФМР задачі Коші справджувалися оцінки в необмежених інтервалах зміни t, оцінні функції з яких прямували до нуля при прямуванні t до нескінченності. Дослідження в цьому напрямку продовжувалося в працях С.Д.Ейдельмана та Л.М.Івасишин, де Л-умови вже називаються і-умовами, а також розглядаються параболічні за Петровським системи довільних порядків за часовою змінною. Природним є бажання розширити класи систем рівнянь, для яких ФМР і МГ задачі Коші володіють оцінками типу-оцінок С.Д.Ейдельмана, одержати аналогічні оцінки для МГ крайових задач і за їх допомогою вивчити властивості розвязків у необмежених за t областях. Можна відзначити також праці М.Д.Марти-ненка i Л.Ф.Бойко, в яких була зроблена спроба одержати-оцінку для ФМР задачі Коші та застосувати її до дослідження розвязності задач без початкових умов для-параболічних систем. Метою роботи є дослідження властивостей в необмежених за часовою змінною областях розвязків-параболічних систем, а також крайових задач для деяких параболічних рівнянь, які виникають у прикладних задачах.У підрозділі 4.1 одержані інтегральні зображення та оцінки у відповідних нормах визначених у півпросторах розвязків системи (1), яка задовольняє-умови, (теореми 4.1 і 4.2). Ці результати використовуються в підрозділі 4.2 для встановлення коректної розвязності задачі Коші в та задачі без початкових умов у (теореми 4.3 і 4.4), а в підрозділі 4.3 для доведення теорем про стійкість розвязків задачі Коші та теорем типу Ліувілля (теореми 4.5 - 4.7). Розглядаються такі регулярні розвязки однорідної системи (1) (системи (10)) в, які задовольняють для будь-якого нерівність. Нульовий розвязок системи (10) називається-стійким, якщо для будь-якого існує таке, що для будь-якого розвязку цієї системи, який задовольняє умову (7) та умову, справджується нерівність. Нехай система (1) задовольняє-умову зі сталими R і функціями.Дисертація присвячена дослідженню властивостей в необмежених за часовою змінною областях розвязків-параболічних систем, а також крайових задач для деяких рівнянь другого порядку зі зростаючими коефіцієнтами, які виникають у прикладних задачах.
Вывод
Дисертація присвячена дослідженню властивостей в необмежених за часовою змінною областях розвязків -параболічних систем, а також крайових задач для деяких рівнянь другого порядку зі зростаючими коефіцієнтами, які виникають у прикладних задачах.
Для -параболічних систем одержані такі основні результати: введені спеціальні -умови в термінах оцінок ФМР і МГ задачі Коші;
наведені приклади класів систем як першого, так і довільних порядків, які задовольняють -умови;
встановлені інтегральні зображення та оцінки розвязків, а також коректна розвязність задачі Коші і задачі без початкових умов відповідно у півпросторах і;
доведені теореми про стійкість розвязків задачі Коші та теореми типу Ліувілля ;
здійснена побудова та одержані оцінки ФМР поліноміальної вязки -еліптичних систем, породженої -параболічною системою.
Ці результати істотно розширюють і доповнюють відомі результати для параболічних за Петровським систем.
Крім того, у дисертації встановлені коректна розвязність та інтегральні зображення розвязків крайових задач Діріхле і Неймана без початкових умов для деяких конкретних рівнянь другого порядку з необмежено зростаючими при коефіцієнтами і виродженням при.
Для обгрунтування результатів дисертаційної роботи модифіковані методи, які розроблені при дослідженні параболічних за Петровським систем.
Список литературы
1. Балабушенко Т.М. Про оцінки в необмежених відносно часової змінної областях фундаментальної матриці розвязків задачі Коші для -параболічних систем // Мат.студії. 2002. Т. 17, N 2. C. 163 - 174.
2. Балабушенко Т.М. Властивості розвязків -параболічних систем в областях, необмежених відносно часової змінної // Мат. студії. 2002. Т. 18, N 1. C. 69 - 78.
3. Балабушенко Т.М., Івасишен С.Д. Про властивості розвязків -параболічних систем у необмежених за часовою змінною областях // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2002. Т.45, N 4. C. 19 - 26.
4. Балабушенко Т.М., Івасишен С.Д. Крайові задачі Фурє для рівняння Колмогорова дифузійного процесу Уленбека-Орнштейна з виродженням // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 46. Математика. Чернівці: Рута, 1999. С. 5 - 12.
5. Балабушенко Т.М. Оцінки фундаментальної матриці розвязків задачі Коші для -параболічних систем у необмежених відносно часової змінної областях та їх застосування // Вісник Нац. ун-ту "Львівська політехніка". N 411. Прикладна математика. 2000. C. 6- 11.
6. Балабушенко Т.М. Побудова та оцінки фундаментальних матриць розвязків поліноміальної вязки -еліптичних систем, породжених -параболічною системою // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 160. Математика. Чернівці: Рута, 2003. С. 5 - 10.
7. Балабушенко Т.М., Івасишен С.Д. Крайова задача Діріхле без початкової умови для рівняння Колмогорова дифузійного процесу Уленбека-Орнштейна з виродженням // Дослідження математичних моделей: Зб. наук. пр. К.: Ін-т математики НАН України, 1997. С. 21- 29.
8. Balabushenko T.М. On estimates of Green matrix of the Cauchy problem for -parabolic systems in unbounded with respect to time variable domains and their applications // Intern. Conf. "Nonlinear Partial Differential Equations" (Kyiv, August 22- 28, 2001): Book of abstracts. Donetsk, 2001. P. 13.
9. Балабушенко Т.М., Івасишен С.Д. Про коректну розвязність задач без початкових умов для деяких параболічних систем // Міжнар. наук. конф. "Диференціальні рівняння i нелінійні коливання" (27 - 29 серпня 2001 р., Чернівці): Тези доп. Київ, 2001. С. 11 - 12.
10. Балабушенко Т.М. Властивості фундаментальної матриці розвязків задачі Коші для -параболічних систем на нескінченному часовому інтервалі // Міжнар. наук. конф. "Нові підходи до розвя-зування диференціальних рівнянь" (1 - 5 жовтня 2001 р., Дрогобич): Тези доп. C. 9.
11. Балабушенко Т.М., Ивасишен С.Д. Свойства решений общих -параболических систем в неограниченных повременной переменной областях // Девята Міжнар. наук. конф. імені академіка М.Кравчука (16 - 19 травня 2002 р., Київ): Матеріали конференції. Київ:НТУ “КПІ”, 2002. C. 16.
12. Балабушенко Т.М. Про властивості розвязків -параболічних систем довільних порядків в необмежених за часовою змінною областях // Міжнар. наук. конф. "Шості Боголюбовські читання" (26 - 20 серпня 2003 р., Київ): Тези доп. С. 24.