Властивості банахових просторів та операторів, що пов’язані з геометрією зрізок - Автореферат

Вернер довели, що за умови виконання рівності (1) для всіх 1-вимірних операторів у просторі , вона також має місце для всіх компактних операторів у цьому просторі (навіть для слабко компактних та для значно більш широких класів операторів). Відомі як приклади таких просторів , для яких має властивість Даугавета, так і такі простори, що ця властивість для не виконується. ""Граничним випадком"" просторів із такою властивістю є простори, для яких радіус кожної зрізки одиничної кулі дорівнює 1, або простори з радіальною властивістю великих зрізок. Ці дві властивості є безпосереднім узагальненням властивості Даугавета, хоча вони виконуються в деяких відомих банахових просторах, без властивості Даугавета, наприклад, у просторі . Виходячи з міркувань стосовно звязку властивостей великих зрізок із властивістю Радона-Нікодима, виникає запитання про те, якими повинні бути простори з властивостями великих зрізок, наприклад, у контексті звязку між наявністю цих властивостей у даному просторі з їх наявністю в його підпросторів.Доводиться, що властивість, яка полягає в тому, що даний простір є простором з поганими проекторами, має безпосереднє відношення до геометрії зрізок одиничної сфери простору . Доводиться, що будь-яка 1-безумовна сума послідовності просторів з поганими проекторами - також простір з поганими проекторами (та навпаки). На перший погляд здається, що радіус зрізки на її власних елементах не може бути більшим за її радіус на інших елементах сфери, тобто, що простори з поганими проекторами повинні також мати властивість Даугавета. Сума є простором з поганими проекторами тоді й тільки тоді, коли просторами з поганими проекторами є всі її доданки , , …. У розділі 4 - ""Альтернативна властивість Даугавета в просторах функцій Ліпшиця"" - знайдено критерії виконання властивості ADP в просторі для випадку, коли - скінченний метричний простір, а для нескінченно-вимірного випадку знайдено достатню умову виконання цієї властивості.Охарактеризовано всі скінченні метричні простори , для яких простір має альтернативну властивість Даугавета; доведено, що для простору , ізометричного підмножині , простір має альтернативну властивість Даугавета. Надано геометричну характеризацію просторів, у яких кожен проектор на гіперпідпростір має норму не меншу за 2; доведено, що безумовна сума послідовності просторів є таким простором тоді й тільки тоді, коли таким простором є кожен доданок суми. Для радіальної властивості великих зрізок описано взаємозвязок між наявністю цієї властивості в безумовній сумі послідовності просторів з її наявністю в доданках, а саме: 1) доведено, що якщо у кожному доданку виконується радіальна властивість великих зрізок, то вона виконується також і в сумі; 2) знайдено необхідну і достатню умову на простір, за яким розглядається сума, для того, щоб із наявності радіальної властивості великих зрізок для суми випливала наявність цієї властивості для окремого доданка. Доведено, що якщо в просторі існує доповнювальний підпростір, ізоморфний простору з радіальною властивістю великих зрізок, то простір також буде ізоморфним простору з цією властивістю.

Основний зміст роботи

У дисертації отримано нові результати про властивості Даугавета, Радона-Нікодима, Рімана-Лебега та альтернативну властивість Даугавета. У роботі розвязано наступні актуальні запитання.

Охарактеризовано всі компактні метричні простори , для яких банахів простір всіх дійсних функцій Ліпшиця має властивість Даугавета.

Охарактеризовано всі скінченні метричні простори , для яких простір має альтернативну властивість Даугавета; доведено, що для простору , ізометричного підмножині , простір має альтернативну властивість Даугавета.

Надано геометричну характеризацію просторів, у яких кожен проектор на гіперпідпростір має норму не меншу за 2; доведено, що безумовна сума послідовності просторів є таким простором тоді й тільки тоді, коли таким простором є кожен доданок суми. Встановлено, що такі простори можуть не мати властивості Даугавета.

Доведено, що в просторі не виконується властивість Радона-Нікодима тоді й тільки тоді, коли для будь-якого існує еквівалентна норма на , в якій радіус кожної зрізки одиничної кулі є більшим за .

Для радіальної властивості великих зрізок описано взаємозвязок між наявністю цієї властивості в безумовній сумі послідовності просторів з її наявністю в доданках, а саме: 1) доведено, що якщо у кожному доданку виконується радіальна властивість великих зрізок, то вона виконується також і в сумі; 2) знайдено необхідну і достатню умову на простір, за яким розглядається сума, для того, щоб із наявності радіальної властивості великих зрізок для суми випливала наявність цієї властивості для окремого доданка. Доведено, що якщо в просторі існує доповнювальний підпростір, ізоморфний простору з радіальною властивістю великих зрізок, то простір також буде ізоморфним простору з цією властивістю.

Для діаметральної властивості великих зрізок отримано результати, аналогічні вказаним результатам для радіальної властивості великих зрізок; до того ж, доведено, що простір, в якому є підпростір, ізоморфний простору , є ізоморфним простору з діаметральною властивістю великих зрізок. Для розповсюдження діаметральної властивості великих зрізок на випадок слабких околів в одиничній кулі замість зрізок доведено, що ця властивість еквівалентна виконанню діаметральної властивості великих зрізок для кожного підпростора скінченної ковимірності.

Знайдено необхідні та достатні умови на метричний простір , за яких простір набуває діаметральної властивості великих зрізок; у випадку, коли - компакт, критерієм цієї властивості для є нескінченність множини .

Доведено, що з наявності для банахового простору властивості Рімана-Лебега випливає наявність у ньому властивості повної неперервності, тобто встановлено, що ці властивості є еквівалентними.

1. Boyko K., Ivakhno Y. When on a finite metric space satisfies the alternative Daugavet property or is isometric to // Вісник Храківського національного університету, серія ""Математика, прикладна математика і механіка"". - 2007. - № 790. - С. 158-181.

2. Ивахно Е., Кадец В. Unconditional sums of spaces with bad projections // Вісник Храківського національного університету, серія ""Математика, прикладна математика і механіка"". - 2004. - № 645, вип. 54. - С. 30-35.

3. Ивахно Е. Big slice property in the spaces of Lipschitz functions // Вісник Храківського національного університету, серія ""Математика, прикладна математика і механіка"" - 2006. - № 749, вип. 56. - С. 109-118.

4. Ивахно Е. On sets with extremely big slices // Журнал математической физики, анализа, геометрии. - 2006. - Т. 2, № 1. - С. 94-103.

5. Ivakhno Y. The Riemann-Lebesgue property is equivalent to the complete continuity property // Bull. Lond. Math. Soc. - 2007. - Vol. 39, No. 4. - P. 583-585.

6. Ivakhno Y. The Daugavet property for spaces of Lipschitz functions // International conference dedicated to the centennial of B.Ya.Levin ""Entire and Subharmonic Functions and Related Topics"", Book of abstracts. - Kharkiv. - 2006. - P. 17.

7. Ivakhno Y. Big slice property in the spaces of Lipschitz functions // International Conference ""Modern Analysis and Applications"" (MAA 2007) dedicated to the centenary of Mark Krein, Book of abstracts. - Kyiv. - 2007. - P. 62-63.