Високоточні обчислювальні алгоритми та система автоматизованого розрахунку дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах - Автореферат

Характерною особливістю таких обєктів є те, що вони містять в собі тонкі включення (теплоізоляційні покриття, технологічні шви, контактні зазори, системи каналів охолодження та ін.), які породжують розриви як в полях, що супроводжують процеси, які в них протікають, так і в їх потоках. Моделювання фізичних процесів в багатокомпонентних областях зводиться до розвязання змішаних крайових задач у різних системах координат та з різноманітними умовами спряження неідеального контакту (задач з розривними розвязками та потоками). На той час такі схеми були відсутні для задач з умовами спряження неідеального контакту. Дейнека запропонував використовувати відповідні класи розривних функцій для побудови і обґрунтування класичних узагальнених задач та побудови обчислювальних схем підвищеного порядку точності їх дискретизації при довільно орієнтованих в просторі тонких слабкопроникних включеннях. Мета даної роботи полягає в створенні наукових основ побудови ефективної автоматизованої діалогової системи моделювання усталених дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах, що містять довільно орієнтовані в просторі тонкі включення/тріщини різноманітного походження (які описуються крайовими задачами для еліптичного рівняння 2-го порядку з умовами спряження) та розробки зазначеної вище системи.Для всіх наведених вище варіантів умов спряження в декартових і циліндричних координатах сформульовано еквівалентні узагальнені задачі: варіаційна задача та задача в слабкій постановці. Задача в слабкій постановці: відшукати функцію В роботі доведено, що коли u - класичний розвязок крайової задачі з умовою (5), а uy - класичний розвязок крайової задачі з умовою (12), то має місце оцінка: IMG_9f0372a4-1bd7-4a7b-9014-11a065a69cb4 (15) В роботі також доведено, що коли IMG_ef59cfb6-1e42-4a36-a258-42e1a28bb79f - класичні розвязки відповідно задач з умовами (5) і (12) та IMG_7fc1b5db-b459-458f-be53-d9f0d98c5fd8 має на областях IMG_29ac8165-b083-4457-927b-3b9b978dba8f задачі з умовою (12) має місце оцінкаУ дисертаційній роботі вирішено нову науково-технічну задачу, а саме: побудовано та досліджено нові математичні моделі стаціонарних процесів дифузії та фільтрації рідини в складних анізотропних багатокомпонентних двовимірних областях, що містять тонкі включення/тріщини, а також розроблено теоретичні основи побудови та створення діалогової автоматизованої системи моделювання складних фізичних процесів в згаданих областях. Для одновимірного випадку: - побудовано нові математичні моделі дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах із включеннями у вигляді змішаних крайових задач з умовами спряження в декартовій та циліндричній системах координат. Розглянуто випадок заміни головної умови спряження природною умовою з малим параметром та отримано оцінку залежності розвязку від цього параметру; на основі розроблених високоточних обчислювальних алгоритмів створено відповідне програмне забезпечення, за допомогою якого проведено числові експерименти для кожного з розглянутих в роботі нових класів задач (в тому числі при застосуванні малого параметру). Для двовимірного випадку: - побудовано для трьох основних ортогональних системах координат (декартової, циліндричної, полярної) нові математичні моделі дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах з довільно орієнтованими в просторі включеннями у вигляді змішаних крайових задач з умовами спряження неідеального контакту: тришарового тонкого включення (неоднорідні), узагальненого зосередженого власного джерела та із заданими стрибками розвязку і потоку (з головною та природною умовами);

Основний зміст роботи

У дисертаційній роботі вирішено нову науково-технічну задачу, а саме: побудовано та досліджено нові математичні моделі стаціонарних процесів дифузії та фільтрації рідини в складних анізотропних багатокомпонентних двовимірних областях, що містять тонкі включення/тріщини, а також розроблено теоретичні основи побудови та створення діалогової автоматизованої системи моделювання складних фізичних процесів в згаданих областях. Основні результати проведеної роботи полягають у наступному.

1. На основі огляду наявних публікацій за темою роботи встановлено, що питання створення автоматизованої системи розрахунку процесів дифузії та фільтрації рідини в складних багатокомпонентних двовимірних областях недостатньо вивчене. В існуючих на сьогоднішній час програмних комплексах не забезпечена можливість самостійного розвязання задач з умовами спряження неідеального контакту, записаних в трьох основних ортогональних системах координат з різними класичними крайовими умовами.

2. Для одновимірного випадку: - побудовано нові математичні моделі дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах із включеннями у вигляді змішаних крайових задач з умовами спряження в декартовій та циліндричній системах координат. Отримано нові еквівалентні їм узагальнені задачі;

- доведено теореми про існування та єдиність узагальнених розвязків. Розглянуто випадок заміни головної умови спряження природною умовою з малим параметром та отримано оцінку залежності розвязку від цього параметру;

- на основі використання класів розривних функцій МСЕ побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації розглядуваних задач. Показано, що точність алгоритмів за порядком така сама, як і у відомих для аналогічних задач з гладкими розвязками;

- на основі розроблених високоточних обчислювальних алгоритмів створено відповідне програмне забезпечення, за допомогою якого проведено числові експерименти для кожного з розглянутих в роботі нових класів задач (в тому числі при застосуванні малого параметру).

3. Для двовимірного випадку: - побудовано для трьох основних ортогональних системах координат (декартової, циліндричної, полярної) нові математичні моделі дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах з довільно орієнтованими в просторі включеннями у вигляді змішаних крайових задач з умовами спряження неідеального контакту: тришарового тонкого включення (неоднорідні), узагальненого зосередженого власного джерела та із заданими стрибками розвязку і потоку (з головною та природною умовами);

- побудовано нові еквівалентні їм узагальнені задачі. Доведено теореми про існування та єдиність узагальнених розвязків. Розглянуто випадок заміни головної умови спряження природною умовою з малим параметром та отримано оцінку залежності розвязку від цього параметру;

- на основі використання класів розривних функцій МСЕ побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації розглядуваних задач. Для апроксимації використано кусково-лінійні та кусково-квадратичні розривні функції МСЕ. Показано, що точність розроблених алгоритмів за порядком така ж, як і у відомих для аналогічних задач з гладкими розвязками. Сформульовано та доведено теореми про оцінки похибок наближених розвязків.

4. На основі отриманих в дисертаційній роботі результатів побудовано нову варіаційну задачу з єдиним узагальненим розвязком про формування температурного поля у вузлі тертя, а також побудовано високоточний обчислювальний алгоритм для знаходження її числового розвязку.

5. На основі розроблених високоточних обчислювальних алгоритмів МСЕ та сучасних засобів обєктно-орієнтованого програмування створено автоматизовану систему DIFUS діалогового розвязання класів задач з умовами спряження. З її допомогою проведено компютерні експерименти на модельних прикладах для двовимірного випадку для кожного з розглянутих нових класів задач (в тому числі при застосуванні малого параметру) та розвязано практичні задачі.

1. Баран І. Розрахунок стаціонарних температурних полів у неоднорідних середовищах // Вісник Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. - Тернопіль, 2003. - Том 8, №2. - С. 111-117.

2. Дейнека В.С., Баран И.О. Высокоточные вычислительные алгоритмы для эллиптического уравнения в полярной системе координат с условиями сопряжения // Компьютерная математика. Сб. науч. тр. - Киев, 2003, №1 - С. 141-150.

3. Дейнека В.С., Баран И.О. Метод конечных элементов для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с неоднородными условиями сопряжения // Компьютерная математика. Сб. науч. тр. - Киев, 2000. - С. 83-93.

4. Дейнека В.С., Баран І.О. Автоматизована система DIFUS для розрахунку процесів дифузії в неоднорідних середовищах // Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах. - 2002. - №2. - С. 111-115.

5. Дейнека В.С., Баран І.О. Задача з неоднорідними головними умовами та високоточні обчислювальні алгоритми її дискретизації // Компютерна математика. Оптимізація обчислень. Зб. наук. пр. - Київ, 2001. - С. 116-123.

6. Дейнека В.С., Баран І.О. Обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності для осесиметричних задач з умовами спряження // Волинський математичний вісник. - Рівне, 2001. - Випуск 8. - С. 48-53.

7. Дейнека В.С., Баран І.О. Схеми методу скінченних елементів для задач з власними зосередженими джерелами // Волинський математичний вісник. - Рівне, 2000. - Випуск 7. - С. 43-47.

8. Баран І. Математичне моделювання стаціонарних температурних полів двохшарових циліндрів з умовами спряження // Матеріали пятої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. - Тернопіль, 2001. - с.9.

9. Баран І. Підвищення ефективності розрахунку дифузійних процесів в середовищах із включеннями // Матеріали шостої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. - Тернопіль, 2002. - с.7.

10. Баран І. Автоматизована система розрахунку дифузійних процесів в неоднорідних середовищах // Матеріали сьомої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. - Тернопіль, 2003. - с.14.