Вища математика для студентів І курсу лікувального факультету - Учебное пособие

5.5 Закони розподілу випадкових величин 6.3 Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу В медико-біологічній практиці широко використовуються методи математичного аналізу при дослідженні різноманітних процесів, що відбуваються у клітинах і тканинах людського організму. Хоча елементарний функціональний підхід з певною ступінню наближення описує залежність чутливості біосистем до різних видів біологічних подразнень, проте для опису поведінки біосистем, для дослідження динаміки їх розвитку, для опису фізичних процесів у клітині потрібно застосовувати широкий спектр арсеналу засобів математичного аналізу. Серед потужних інструментів аналізу медико-біологічної інформації важливе місце займають методи диференціювання і інтегрування, теорія імовірності і математична статистика.Щоб піддати їх математичному аналізу вибирають за одиницю вимірювання довільну величину тієї ж природи: наприклад, за одиницю вимірювання довжини приймають метр, за одиницю маси - кілограм і т.д. Тоді відношення даної конкретної величини до одиниці вимірювання буде показувати скільки разів одиниця вимірювання міститься у даній конкретній величині. Число, яке отримуємо в результаті вимірювання, називається значенням даної конкретної величини. У протилежність цьому величину називають змінною, якщо вона набуває різних числових значень при умовах даної задачі. Змінна величина ІУІ називається функцією незалежної змінної величини (аргументу) ІХІ на множині ІМІ, якщо кожному значенню ІХІ з множини М відповідає певне значення ІУІ.Функція називається парною, якщо для довільних х з області означення f(-x)= f(x), то функція називається парною. Функція y=x5 - непарна, так як (-х)5= - х5.Існують функції, які не являються парними чи непарними. Функція у= f(x) називається періодичною, якщо існує не рівне нулю число Т таке, що при всіх значеннях х з області її означення, f(x T)= f(x). Дуже часто при заданні функції аналітичним виразом y=f(x) область означення цієї функції не вказується. В такому випадку під областю означення функції розуміють область існування аналітичного виразу y=f(x), тобто множину значень аргументу х, для яких аналітичний вираз має означене конкретне значення.Згідно з означенням границі, ІУІ є величина нескінченно мала, якщо в процесі своєї зміни вона за абсолютним значенням стає і лишається меншою від будь-якого насамперед заданого числа ІЕІ. Додатною нескінченною величиною називаємо таку змінну величину, яка має такий характер зміни : яке б число N ми не взяли, то змінна величина ІУІ в процесі своєї зміни стає і лишається більшою від N. Якщо змінна величина ІУІ в процесі своєї зміни стає і лишається меншою від будь-якого наперед заданого відуємного числа - N, то у цьому випадку величину ІУІ ми називаємо відуємною нескінченно великою величиною. Другий випадок, що часто зустрічається, буде той, коли змінна ІУІ, границю якої ми шукаємо, є функція f(x) від другої незалежної змінної ІХІ. Кажуть, що число А називається границею функції y=f(x) при ІХІ прямуючому до ІАІ, якщо для довільного e>0 існує число d(e)>0 таке, що при 0<Ѕх-АЅ<d(e) виконується нерівність Ѕf(x)-АЅ<e.Якщо кожному значенню змінної ІХІ відповідає певне значення змінної IUI і кожному значенню IUI - певне значення змінної ІУІ, тобто якщо u=j(x) і y=f(x) то очевидно, ІУІ буде функцією від ІХІ, і залежність ІУІ від ІХІ можна подати у вигляді y=f(j(x)). У таких випадках ІУІ називається функцією від функції.Похідною функції y=f(x) по аргументу ІХІ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля. Похідна від похідної називається похідною другого порядку, або другою похідною. Мають місце такі основні правила диференціювання (тут ІСІ - постійна, а IUI і IVI - функції від ІХІ, що мають похідні): (С)у = 0 (14) Якщо функція y=f(x) має екстремум в критичній точці хі і в ній існує похідна, то ця похідна дорівнює нулю: fy(x)=0. Достатня умова наявності екстремуму функції в околі точки хі формулюється так: Якщо функція неперервна в точці хі і при переході через цю точку знак похідної змінюється, то в точці хі функція має екстремум;Нехай ІУІ є функція ВІДІUІ: y=f(u), де IUI є функція від аргументу ІХІ : u=j(x); тоді ми можемо записати y=f(j(x)). Якщо для відповідних значень ІХІ і IUI існують похідні, то існує і похідна від ІУІ по ІХІ. причому має місце рівність : уу=f(u)uy=f[(j(x)]jy(x). Приведемо таблицю основних формул диференціювання : Приклади: 1.Знайти похідну від функції Вводимо допоміжну функцію u вважаючи u=x3 x2 x тоді, можемо записатиЧастинною похідною функції u=f(x,y) по аргументу Іх І в точці (х0,у0) називається границя відношення частинної приросту функції по аргументу ІХІ до приросту аргументу Dx, коли він прямує до нуля Аналогічно знаходиться частинна похідна по другому аргументу : IMG_e9e7a78a-ce15-4ebe-b449-ad27383aecfe Частинна похідна від частинної похідної n-ного порядку є частинна похідна n 1 порядку. Знаходимо частинні похідні: IMG_72eced1e-54fe-4e47-a390-37e3f2dc6677 3.Обрахувати частинні похід

Зміст

Вступ

1. Функція. Похідна функції

1.1 Сталі і змінні величини

1.2 Основні елементарні функції

1.3 Границя змінної величини. Нескінченно малі і нескінченно великі величини

1.4 Складна функція

1.5 Похідна функції

1.6 Похідна складних функцій

1.7 Частинна похідна

1.8 Фізичний зміст похідної

2. Диференціал функції. Застосування диференціала для наближених розрахунків

2.1 Диференціал функції

2.2 Геометричний зміст похідної і диференціала

2.3 Застосування диференціалу для наближених обрахунків

2.4 Похідні і диференціали різних порядків функції від однієї незалежної змінної

2.5 Механічний зміст другої похідної

2.6 Повний диференціал функції багатьох змінних

2.7 Застосування повного диференціалу для наближених обрахунків

2.8 Визначення граничної похибки посередніх вимірювань

3. Основи інтегрального числення

3.1 Поняття про інтеграл

3.2 Первісна функція і невизначений інтеграл

3.3 Властивості невизначеного інтегралу. Основні формули інтегрування

3.4 Методи інтегрування

3.5 Визначений інтеграл

3.6 Основні властивості визначеного інтеграла

3.7 Методи обчислення визначеного інтеграла

3.8 Теорема про середнє значення

3.9 Невласні інтеграли

3.10 Приклади застосування означеного інтеграла для розвязку фізичних і хімічних задач

4. Диференціальні рівняння

4.1 Поняття про диференціальні рівняння

4.2 Диференціальні рівняння першого порядку,що розвязуються безпосереднім інтегруванням

4.3 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

4.4 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

4.5 Диференціальні рівняння другого порядку

4.6 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

4.7 Приклади застосування диференціальних рівнянь для розвязку задач з фізики, хімії, біології і медицини

5. Елементи теорії ймовірності

5.1 Основні поняття теорій ймовірності

5.2 Основні теореми ймовірності

5.3 Випадкова величина