Виды производственных функций - Курсовая работа

Для того, чтобы произвести мебель, продукты питания, одежду и другие товары, необходимо иметь соответствующие расходуемые материалы, оборудование, помещение, землю, специалистов, которые организуют производство. Все, необходимое для организации процесса производства называют факторами производства. Другим словами, факторы производства - это то, что оказывает определенное влияние на само производство. В дальнейшем, расцвет теории «трех факторов» привело к более широкому определению факторов производства. Одну из главных ролей в понимании проблемы сочетания факторов производства играет такая теория предельной полезности и предельных издержек, суть которой заключается в том, что каждая дополнительная единица одинакового блага приносит все меньшую пользу потребителю, и требует увеличения затрат от производителя.Ресурсы в экономике выступают в качестве факторов производства, к которым относятся: 1. труд; Производственная функция - это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи такого понятия, как эластичность замещения факторов производства. Эластичность замещения - это соотношение затрат замещающих друг друга факторов производства при неизменном объеме выпуска продукции. Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS, которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.

экономический производственный линейный эластичность

В условиях современности люди не могут потреблять только то, что они сами производят. Для наиболее полного удовлетворения своих потребностей они вынуждены меняться тем, что они производят. Без постоянного производства благ не было бы потребления. Поэтому огромный интерес представляет анализ закономерностей, действующих в процессе производства благ, которые строят в дальнейшем их предложение на рынке.

Производственный процесс - это основное и первоначальное понятие экономики. Что же понимается под производством?

Каждый знает, что производство благ и услуг на пустом месте невозможно. Для того, чтобы произвести мебель, продукты питания, одежду и другие товары, необходимо иметь соответствующие расходуемые материалы, оборудование, помещение, землю, специалистов, которые организуют производство. Все, необходимое для организации процесса производства называют факторами производства. Традиционно к факторам производства относят капитал, труд, землю и предпринимательство.

Для организации производственного процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве. Зависимость максимального объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией.

1. Производственные функции, основные понятия и определения

1.1 Факторы производства

Материальная основа обычной экономики образуется из производства. От того, в каком количестве в стране развито производство зависит в общем экономика этой страны.

В свою очередь, источниками любого производства являются ресурсы, которыми располагает то или иное общество. «Ресурсы - наличие средств труда, предметов труда, денег, товаров или людей для использования в настоящее время или в будущем».

Таким образом, факторы производства, - это совокупность тех природных, материальных, социальных и духовных сил (ресурсов), которые могут быть использованы в процессе создания товаров, услуг и иных ценностей. Другим словами, факторы производства - это то, что оказывает определенное влияние на само производство.

В экономической теории ресурсы принято разделять на три группы: 1. Труд - совокупность физических и умственных способностей человека, которые могут использоваться в процессе изготовления товара или оказания услуги.

2. Капитал (физический) - здания, сооружения, станки, оборудование, транспортное оборудование, необходимые для производства.

3. Природные ресурсы - земля и ее недра, водоемы, леса и т.д. Все то, что можно использовать в производстве в чистом, необработанном виде.

Именно наличие или отсутствие в стране факторов производства обуславливает ее экономическое развитие. Факторы производства, в какой-то степени, являются потенциалом экономического роста. От того, как эти факторы используются, зависит общее положение дел в экономике государства.

В дальнейшем, расцвет теории «трех факторов» привело к более широкому определению факторов производства. В нынешнее время к ним относятся: 1. труд;

2. земля (природные ресурсы);

3. капитал;

4. предпринимательскуя способность;

5. научно-технический прогресс.

Следует отметить, что все эти факторы тесно взаимосвязаны между собой, к примеру, производительность труда резко повысится при использовании результатов научно-технического прогресса.

Таким образом, факторы производства, - это факторы, которые оказывают особое воздействие на сам процесс производства. Так, например, увеличив капитал путем приобретения нового производственного оборудования, можно увеличить объемы производства и увеличить выручку от реализации продукции.

Необходимо изучить подробнее действующие факторы производства.

Труд есть целесообразная деятельность человека, с помощью которой он преобразует природу и приспосабливает ее для удовлетворения своих нужд. В экономической теории под трудом как фактором производства подразумеваются любые умственные и физические усилия, развиваемые людьми в процессе хозяйственной деятельности.

Говоря о труде нужно остановится на таких понятиях, как производительность труда и интенсивность труда. Интенсивность труда характеризует напряженность труда, которая определяется степенью траты физической и умственной энергии в единицу времени. Интенсивность труда повышается при ускорении работы конвейера, повышении количества одновременно обслуживаемого оборудования, понижении потерь рабочего времени. Производительность труда показывает, какое количество продукции производится на единицу времени.

Капитал как фактор производства отождествляется со средствами производства. Капитал состоит из благ длительного пользования, созданных экономической системой для производства других товаров. Другой взгляд на капитал связан с его денежной формой. Капитал, когда он воплощен в еще не инвестированных финансах называется суммой денег. Во всех этих терминах есть одна общая идея, а именно капитал характеризуется способностью приносить доход.

Существует физический или основной, оборотный и человеческий капитал. Физический капитал - это материализованный в зданиях, станках и оборудовании капитал, действующий в процессе производства несколько лет. Другой вид капитала, включающий сырье, материалы, энергетические ресурсы, расходуется за один производственный цикл. Он носит название оборотного капитала. Деньги, затраченные на оборотный капитал, полностью возвращаются к предпринимателю после реализации продукции. Затраты на основной капитал не могут быть возмещены так быстро. Человеческий капитал возникает как следствие образования, профессиональной подготовки и поддержания физического здоровья.

Предпринимательская способность - особый фактор производства, при помощи которого собираются другие факторы производства в эффективную комбинацию.

Научно-технический прогресс является основным двигателем экономического роста. Он охватывает целый ряд явлений, характеризующих совершенствование процесса производства. Научно-технический прогресс состоит из совершенствований технологий, новых методов и форм управления и организаций производства. Научно-технический прогресс дает возможность по-новому комбинировать данные ресурсы с целью повышения конечного выпуска продукции. При этом, как правило, возникают новые, более нужные отрасли. Рост эффективности труда является основным фактором производства.

Но необходимо знать, что не бывает прямой зависимости между факторами производства и объемом выпускаемой продукции. Например, принимая на работу новых работников, компания создает предпосылки для выпуска дополнительного объема продукции. Но в то же время, каждый привлеченный новый работник повышает для предприятия затраты по оплате труда. Кроме этого, нет гарантии, что выпущенная дополнительно продукция будет принята покупателем, и что предприятие получит доход от реализации этой продукции.

Таким образом, говорится о зависимости между факторами производства и количеством продукции. Нужно понимать, что данная зависимость определяется интеллектуальным сочетанием этих факторов с учетом имеющегося спроса на выпускаемую продукцию.

Одну из главных ролей в понимании проблемы сочетания факторов производства играет такая теория предельной полезности и предельных издержек, суть которой заключается в том, что каждая дополнительная единица одинакового блага приносит все меньшую пользу потребителю, и требует увеличения затрат от производителя. Современная теория производства опирается на концепцию убывающей отдачи или предельного продукта и полагает, что все факторы производства взаимозависимо участвуют в создании продукта.

Основной задачей любой компании является максимизация прибыли. Один из способов достижения этого - разумное сочетание факторов производства. Вопрос заключается в том, сколько и каких факторов производства необходимо использовать для получения максимально возможной прибыли.

Именно этот вопрос и является одной из проблем, решаемой математической экономикой, а способ ого решения - выявление математической зависимости между используемыми факторами производства и объемом выпуска продукции, то есть, в создании производственной функции.

1.2 Производственная функция и ее экономическое содержание

Функция - это зависимость одной переменной от другой (других) переменной, выраженная следующим образом: y= f(x), где х - независимая переменная, а y - зависимая от x функция.

Изменение переменной x ведет к изменению функции y.

Функция двух переменных выражается зависимостью: z = f (x, y). Трех переменных: Q = f (x, y, z), и так далее.

Например, площадь круга: S (r)=? r 2 - есть функция его радиуса, и чем больше радиус, тем больше площадь круга.

Получается, что производственная функция - это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом, основная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в установки производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия.

В теории производства обычно используют двухфакторную производственную функцию, которая в частности записывается следующим образом: Q = f (K, L), (1.1)

При этом такие факторы, как технический прогресс и предпринимательская способность остаются неизменными в относительно малом промежутке времени и не изменяющим объем выпуска продукции, а фактор «земля» рассматривается вместе с «капиталом».

Производственная функция показывает взаимосвязь выпуска продукции Q с факторами производства: капиталом K, трудом L. Производственная функция описывает множество технически эффективных способов производства заданного объема продукции. Техническая эффективность производства характеризуется использованием наименьшего количества ресурсов при данном объеме производства. Например, способ производства считается более актуальным, если он предполагает содержание хотя бы одного ресурса в меньшем, а всех остальных не в большем количестве, чем другие способы. Если же один способ предполагает использование одних ресурсов в большем, и других в малом количестве, чем другой способ, тогда эти способы не равны по технической эффективности. В этом случае оба способа рассматриваются как технически актуальные, а для их сравнения используют экономическую эффективность. Более экономически эффективным методом производства данного объема продукции считается тот, при котором затраты на использование ресурсов минимальны.

Графически все способы можно представить точкой, координаты которой характеризуют минимальное количество ресурсов L и K, а производственную функцию - линией равного выпуска, или изоквантой. Каждая изокванта представляет множество технически эффективных способов производства данного объема продукции. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она предоставляет. На рисунке 1.1. приведены три изокванты, соответствующие выпуску 100, 200 и 300 единиц продукции, так что можно сказать, что для выпуска 200 единиц продукции необходимо взять либо K1 единиц капитала и L1 единиц труда, либо K2 единиц капитала и L2 единиц труда, или же какую-то их комбинацию, предоставленную изоквантой Q2 =200.

Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства.

Изокоста - линия, образованная множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах (на рисунке 1.1. представлена пунктирной линией - касательная к изокванте в точке сочетания ресурсов).

Точка касания изокванты и изокосты - это оригинальное сочетание факторов для конкретного предприятия. Точку касания можно вычислить путем решения системы двух уравнений, выражающих изокванту и изокосту.

Основными свойствами производственной функции являются: 1. Непрерывность функции, то есть, ее график представляет сплошную, нескончаемую линию;

2. Производство не возможно при отсутствии хотя бы одного из факторов;

3. Повышение затрат любого из факторов при неизменных количествах другого приводит к увеличению выпуска продукции;

4. Можно сохранить выпуск продукции на постоянном уровне, заменяя некоторое количество одного фактора дополнительным использованием его же. То есть, занижение использования труда можно заменить дополнительным использованием капитала.

1.3 Эластичность замещения факторов

На основании вышенаписанного можно сделать вывод о том, что основной проблемой производственной функции является проблема правильной комбинации факторов производства, при которой уровень выпуска продукции будет оптимальный, то есть, приносящий наибольшую прибыль. В целях поиска оптимальной комбинации, необходимо решить эту задачу: На какую величину надо увеличить затраты одного фактора при снижении затрат другого на единицу. Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи введения такого понятия, как эластичность замещения факторов производства.

Эластичность замещения - это соотношение затрат заменяющих друг друга факторов производства при неизменном объеме выпуска продукции. Это такой коэффициент, который показывает степень эффективности замещения одного фактора производства другим.

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS, которая указывает, на сколько единиц можно занизить один из факторов при завышении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменяемым.

Предельную норму технического замещения показывает наклон изоквант. Более крутой наклон изокванты говорит о том что, при увеличении количества труда на единицу, нужно будет убрать от несколько единиц капитала для сохранения данного уровня производства. MRTS харакатеризуется формулой: MRTSL, K =-DK/DL

Изокванты могут иметь различную конфигурацию.

Линейная изокванты на рисунке 1.2 (а) предполагает совершенную замещаемость производственных ресурсов, то есть, данный выпуск может быть получен с помощью либо только труда, либо только капитала, либо с помощью комбо этих ресурсов.

Изокванта, представленная на рисунке 1.2 (б) характерна для случая жесткой дополняемости ресурсов. В этом случае известен лишь один технически эффективный способ производства. Такую изокванту иногда называют изоквантой леонтьевского типа. На рисунке 1.2 (в) показана ломаная изокванта, показывающая наличие нескольких методов производства (P). При этом предельная норма технического замещения при передвижении вдоль изокванты сверху вниз убывает. Изокванта подобной конфигурации используется в линейном программировании - методе экономического анализа. Ломаная изокванта точно представляет производственные функции современных производств. А вот на рисунке 1.2 (г) показана изокванта, полагающая возможность непрерывной, но не совершенной замещаемости ресурсов.

1.4 Эластичность производственной функции и отдача от масштаба

Предельный продукт некоторого ресурса характеризует абсолютное изменение выпуска продукта, идущего на единицу изменения расхода данного ресурса, причем измены предполагаются малыми. Для производственной функции

IMG_c3f9b4eb-7356-4611-9c11-e1c2116c7f44 предельный продукт i - того ресурса будет частной производной:

IMG_1dc1f4b0-5d50-49ce-99b7-b13a5e63a4ac .

Влияние относительного изменения расхода i-того фактора на выпуск продукта, представленное также в относительной форме, показывается частной эластичностью выпуска по затратам этого продукта:

IMG_8f74a515-e1a4-4eae-93f8-7e550693ed14

Для легкости понимания будем обозначать

IMG_f14169dc-ca6a-4399-ab51-22c20d549b3e . Частная эластичность производственной функции равна отношению предельного продукта данного ресурса к его среднему продукту.

Рассмотрим обычный случай, когда эластичность производственной функции по некоторому аргументу - это постоянная величина.

Если по отношению к исходным значениям аргументов x1, x2,…, xn один из аргументов (i - тый) изменяется в один раз, а остальные станутся на прежних уровнях, то изменение выпуска продукта описывается степенной функцией:

IMG_909c58f3-4beb-4d14-9b34-012cc85ddcaf . Полагая I=1, найдем, что A=f(x1,…, xn), и поэтому

IMG_ec833d34-a512-458d-8cec-003397190192

.

В общем случае, когда эластичность - переменная величина, равенство (1) является приближенным при значениях I, близких к единице, т.е. при I=1 e, и тем более будет точным, чем ближе к нулю.

Пусть теперь затраты всех ресурсов поменялось в I раз. Последовательно применяется только что описанный прием к x1, x2,…, xn, можно убедиться в том, что теперь

IMG_f24f8a51-cfc8-42d7-85a0-fcfd46c29994 или

IMG_e8e59936-11ad-48ff-80f5-b9ffb67f3d4e Сумма частных эластичностей некоторой функции по всем ее аргументам получила название полной эластичности функции. Вводя обозначение

IMG_be6b0fbd-96cd-4df9-9784-f25150d3b1bd для полной эластичности производственной функции, мы можем представить полученный результат в виде

IMG_a4cd8bbd-fa13-454d-9a02-6fc17e515819

Равенство (2) говорит о том, что полная эластичность производственной функции позволяет дать от масштаба числовое выражение. Пусть расход всех ресурсов немного повысится с сохранением всех пропорций (I>1). Если E>1, то выпуск продукции повысится больше, чем в I раз, а если E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции поменяется в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).

Выделение короткого и длительного периодов при описании характеристик производства - грубая схематизация. Изменение объемов потребления различных ресурсов - энергии, материалов, рабочей силы, станков, зданий и т.д. - требует различного времени. Допустим, что ресурсы перенумерованы в порядке убывания подвижности: быстрее всего можно изменить x1, а затем x2 и т.д., а для изменение xn требуется много времени. Можно выделить сверхмалый, или нулевой период, когда не может меняться ни один фактор; 1-й период, когда изменяется только x1; 2-й период, допускающий изменение x1 и x2 и т.д.; наконец, длительный, или n-й период, в течении которого могут измениться объемы всех ресурсов. Различных периодов, таким образом, оказывается n 1.

Рассматривая некоторый промежуточный по величине, k-й период, мы можем говорить о соответствующей этому периоду отдачи от масштаба, имея в виду пропорциональное изменение объемов тех ресурсов, которые в этом периоде могут изменяться, т.е. x1, x2,…, xk. Объемы xk 1, xn, при этом сохраняют фиксированные значения. Соответствующий этому показатель отдачи от масштаба равен e1 e2 … ek.

Увеличивая период, мы добавляем к этой сумме еще и слагаемые, пока не дадутся значения E для длительного периода.

Поскольку производственная функция возрастает по каждому аргументу, все частные эластичности e1положительны. Отсюда следует, что чем продолжительнее период, тем больше отдача от масштаба.

1.5 Свойства производственной функции

Для каждого вида производства может быть построена своя производственная функция, тем не менее каждая из них будет обладать следующими фундаментальными свойствами: 1. Существует предел роста объема производства, который достигается посредством увеличения использования одного ресурса при прочих равных параметрах. Примером может служить невозможность увеличения объема производства (при достижении конкретного его значения) на определенном предприятии за счет привлечения новых работников при заданных основных фондах. Можно достичь такой точки, когда каждый отдельный работник не будет обеспечен средствами труда для работы, рабочим местом, его присутствие явится помехой другим занятым, и прирост производства от найма этого предельного работника будет приближаться к нулю или даже станет отрицательным.

2. Есть определенная взаимная дополняемость (комплементарность) факторов производства, но без сокращения объема производства возможна и определенная взаимная их заменяемость. Например, для получения данного урожая определенный размер посевной площади может быть обработан большим числом рабочих вручную, без применения удобрений и современных средств производства. На этом же участке для производства необходимого количества урожая может трудиться несколько работников, использующих сложные машины и разнообразные удобрения. Следует отметить, что при условии взаимодополнения ни один из традиционных ресурсов (земля, труд, капитал) не может быть полностью вытеснен другими (не будет взаимодополнения). Механизм же взаимозамещения действует на противоположной посылке: некоторый вид ресурса может быть замещен другим. Взаимодополнение и взаимозамещение имеют противоположную направленность. Если взаимодополнение требует обязательного наличия всех ресурсов, то взаимозамещение в своей крайней форме может привести к полному исключению некоторого из них.

Анализ производственной функции предполагает необходимость разграничения краткосрочного и долгосрочного периодов времени. В первом случае имеется в виду такой временной интервал, в течение которого объем производства может регулироваться только при помощи изменения количества используемых переменных факторов, в то время как постоянные затраты остаются неизменными. Факторы производства, затраты которых неизменны в краткосрочном периоде времени, называются постоянными.

Соответственно факторы производства, размер которых изменяется в краткосрочном периоде - переменные. Долгосрочный период времени рассматривается как интервал, который достаточен для того, чтобы предприятие могло изменить затраты всех факторов производства. Это означает, что в данном случае не существует пределов для роста объема производства и все факторы становятся переменными. В наиболее общем виде различия краткосрочного и долгосрочного интервалов могут быть сведены к следующему.

Во-первых, это касается условий хозяйствования. В краткосрочном периоде значительное расширение объема производства невозможно, ограничивается имеющимися производственными мощностями фирмы. В длительном периоде фирма имеет больше свободы в отношении увеличения объемов выпуска, поскольку все факторы производства становятся переменными.

Во-вторых, необходимо учитывать специфику издержек производства. Краткосрочный период характеризуется наличием как постоянных, так и переменных издержек производства, в долгосрочном периоде все издержки становятся постоянными.

В-третьих, краткосрочный период предполагает постоянство фирм, работающих в данной отрасли. В долгосрочном периоде имеется реальная возможность выхода или вступления в отрасль новых конкурентов.

В-четвертых, следует определить возможности извлечения экономической прибыли в рассматриваемые периоды. В условиях долгосрочного периода экономическая прибыль равна нулю. В краткосрочном периоде экономическая прибыль может быть как положительной, так и отрицательной.

ПФ

IMG_4bcb2b96-a09b-455d-baa1-6a8b922916c3 удовлетворяет следующему ряду свойств: 1) без ресурсов нет выпуска, т.е. f (0,0, a)=0;

2) при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е.

IMG_59341c62-2695-4a62-b4bd-6bece3bcbf81 ;

3) с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;

4) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то

IMG_fc2069b2-6ff7-485e-9197-c9de709780d3 ;

5) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если

IMG_4cb4b32f-473e-488a-812e-342b57e4a6f1 то

IMG_fb2bf4b5-ae15-4ba8-b9c8-8375a3e9421f ;

6) при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то

IMG_b50df420-0a2f-4bd2-bb5d-006c2ad28c87 ;

7) ПФ является однородной функцией, т.е.

IMG_d38cb6d3-dc87-41bb-9a1f-bf14796b2b10 ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

2. Виды производственных функций

2.1 Определение линейно - однородных производственных функций

Производственная функция может быть записана в самых различных алгебраических формах. Как правило, экономисты работают с линейно однородными производственными функциями.

Производственная функция называется однородной степени n, если при умножении ресурсов на некоторое число k полученный объем производства будет в kn раз отличаться от первоначального. Условия однородности производственной функции записывается следующим образом: Q = f (KL, KK) = KNQ

Например, в день затрачивается 9 часов труда (L) и 9 часов работы машин (К). Пусть при данном сочетании факторов L и Кфирма может производить в день продукции на сумму 200 тыс. рублей. В этом случае производственная функция Q = F (L, K) будет представлена следующим равенством: Q = F (9; 9) = 200 000, где F - определенного вида алгебраическая формула, в которую подставляются значения L и T.

Допустим, фирма принимает решение увеличить работу капитала и применение труда в два раза, что приводит к росту объема выпускаемой продукции до 600 тыс. рублей. Получаем, что умножение факторов производства на 2 приводит к увеличению объема производства в 3 раза, то есть, используя условия однородности производственной функции:

Q = f (KL, KK) = KNQ, получаем: Q = f (2L, 2K) = 2Ч1,5ЧQ, то есть, в данном случае мы имеем дело с однородной производственной функцией степени 1,5.

Показатель степени n называется степенью однородности.

Если n = 1, то говорят, что функция однородна первой степени или линейно однородна. Линейно однородная производственная функция представляет интерес тем, что для нее характерна постоянная отдача, то есть, при увеличении факторов производства объем выпускаемой продукции постоянно увеличивается в одинаковой мере.

Если n>1, то производственная функция демонстрирует возрастающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведет к еще большему росту объема производства (например: увеличение факторов в два раза ведет к увеличению объема в 2 раза; в 3 раза - к увеличению в 6 раз; в 4 раза - к увеличению в 12 раз и т.д.) Если n<1, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведет к уменьшению отдачи по росту объемов производства (например: увеличение факторов в 2 раза - ведет к увеличению объемов в 2 раза; увеличение факторов в 3 раза - к увеличению объемов в 1,5 раз; увеличение факторов в 4 раза - к увеличению объемов в 1,2 раза и т.д.).

2.2 Виды линейно-однородных производственных функций

Примерами линейно однородных производственных функций являются производственная функция Кобба-Дугласа и производственная функция с постоянной эластичностью замещения.

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США экономистами Коббом и Дугласом. Исследования Пола Дугласа в сфере обрабатывающей промышленности США и последующая их обработка Чарльзом Коббом привели к появлению математического выражения, описывающего влияние применения труда и капитала на выработку продукции в обрабатывающей отрасли, в виде равенства: Ln(Q) = Ln (1,01) 0,73?Ln(L) 0.27?Ln(K)

В общем виде производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q = AK? L? ? или: LNQ = LNA ? LNK ?LNL ln?

Если ? ?1, то наблюдается возрастающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.б).

В производственной функции Кобба-Дугласа степенные коэффициенты ? и ? в сумме выражают степень однородности производственной функции: ? ?=n

Если внимательно посмотреть на функцию Кобба-Дугласа для обрабатывающей промышленности США, рассчитанную в 1920-е годы, то можно еще раз, уже на конкретном примере отметить, что производственная функция является математическим выражением (через определенную алгебраическую форму) зависимости объемов производства (Q) от объемов использования факторов производства (Lи K). Так, придавая конкретные значения переменным L и K можно определить предполагаемые объемы выпуска продукции (Q) для обрабатывающей промышленности США в 1920-е годы.

Эластичность замещения в производственной функции Кобба-Дугласа всегда равна 1.

Но производственная функция Кобба-Дугласа имела некоторые недостатки. Для преодоления ограничения функции Кобба-Дугласа, которая всегда является однородной в первой степени, в 1961 г. несколькими экономистами (К. Эрроу, Х. Ченери, Б. Минхас и Р. Солоу) была предложена производственная функция с постоянной эластичностью замещения. Это линейно однородная производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов. Позже была предложена и производственная функция с переменной эластичностью замещения. Она представляет собой обобщение производственной функции с постоянной эластичностью замещения, допускающее изменение эластичности замещения с изменением отношения между затрачиваемыми ресурсами.

Линейно однородная производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов имеет следующий вид: Q = а [a K-b (1 - c) L-b]-1/b, Эластичность замещения факторов для данной производственной функции определяется формулой: ? = 1/(1 b).

2.3 Другие виды производственных функций

Другим видом производственной функции является линейная производственная функция, которая имеет следующий вид: Q (L, K) = AL BK

Данная производственная функция является однородной первой степени, следовательно, она имеет постоянную отдачу от масштабов производства. Графически данная функция представлена на рисунке 1.2, а.

Экономический смысл линейной производственной функции состоит в том, что она описывает такое производство, в котором факторы являются взаимозаменяемыми, то есть, не имеет значения - использовать только труд или только капитал. Но в реальной жизни такая ситуация практически не возможна, так как любая машина все равно обслуживается человеком.

Коэффициенты a и b функции, которые находятся при переменных L и Кпоказывают пропорции, в которых один фактор может быть замещен другим. Например, если a=b=1, то это значит, что 1 час труда может быть заменен 1 часом машинного времени для того, чтобы произвести такой же объем продукции.

Необходимо отметить, что в некоторых видах хозяйственной деятельности труд и капитал вообще не могут заменить друг друга и должны использоваться в фиксированной пропорции: 1 рабочий - 2 станка, 1 автобус - 1 водитель.

Ресурсы в экономике выступают в качестве факторов производства, к которым относятся: 1. труд;

2. земля (природные ресурсы);

3. капитал;

4. предпринимательская способность;

5. научно-технический прогресс.

Все эти факторы тесно взаимосвязаны между собой.

Производственная функция - это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом главная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в построении производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия.

В теории производства в основном используют двухфакторную производственную функцию, которая в общем виде выглядит так: Q = f (K, L), где Q - объем производства; К - капитал; L - труд.

Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи такого понятия, как эластичность замещения факторов производства.

Эластичность замещения - это соотношение затрат замещающих друг друга факторов производства при неизменном объеме выпуска продукции. Это своего рода коэффициент, который показывает степень эффективности замещения одного фактора производства другим.

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS, которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.

Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства.

Денежные средства как правило ограничены. Линия, образуемая множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах, называется изокостой. Таким образом, оптимальным сочетанием факторов для конкретного предприятия является общее решение уравнений изокосты и изокванты. Графически - это точка касания линий изокосты и изокванты.

Производственная функция может быть записана в самых различных алгебраических формах. Как правило, экономисты работают с линейно однородными производственными функциями.

В работе также были рассмотрены конкретные примеры решения задач с применением производственных функций, которые позволили сделать вывод о их большой практической значимости в экономической деятельности любого предприятия.

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. - М.: Изд. «ДИС», 1997.

3. Курс экономической теории: учебник. - Киров: «АСА», 1999.

4. Микроэкономика. Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. - М.: СПБ. Поиск, 2002.

5. Салманов О. Математическая экономика. - М.: BHV, 2003.

6. Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике. - М.: Финансы и статистика, 2004.

7. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. - М.: Юнити-Дана, 2000.

Размещено на .ru