Важливі точки трикутника в координатній формі - Дипломная работа

ВАЖЛИВІ ТОЧКИ ТРИКУТНИКА В КООРДИНАТНІЙ ФОРМІ АНОТАЦІЯ Тема дипломного проекту: «Важливі точки трикутника в координатній формі». Наведені і прокоментовані результати, отримані при розв’язанні задач. РЕФЕРАТ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ Ключові слова: системи координат, афінні координати, полярні координати, декартові координати, геометричне місце точок (ГМТ), трикутник, центроїд, ортоцентр, методика викладання планіметрії. ВСТУП В роботі дається огляд деяких понять, пов’язаних з методом координат на площині і застосування цього методу в планіметрії на прикладі властивостей трикутника. У першому розділі введено поняття системи координат на площині, розглянуті деякі з таких систем та їх основні властивості. У третьому розділі розглядаються основні елементи трикутника та деякі важливі його точки та прямі в зв’язку з координатною формою їх задання. Дані розробки навчальних занять, пов’язані з темами, розглянутими в роботі. Геометрія для учнів основної загальноосвітньої школи є обов’язковою дисципліною, і ті можливості, які вона надає для формування наукового стилю мислення та розвитку творчих здібностей учнів, повинні повною мірою використовуватися в навчально-виховному процесі. Що стосується вибору змісту геометричного матеріалу, то трикутники, по-перше, пронизують весь курс планіметрії і властивості цих фігур використовуються у подальшому вивченні курсу стереометрії; по-друге, властивості трикутника, зокрема ознаки рівності і подібності, виступають одним із базових аргументів при доведенні теорем і розв’язуванні задач курсу геометрії. Загальноматематичне значення методу координат відкрили і вперше виявили французькі математики XVII в. П.Ферма і Р. Декарт. Звідси і назви: “Декартова система координат”, “Декартові координати.” Терміни “абсциса” (лат. abscissus - що відсікається) і “ордината” (лат. ordinates - впорядкований) сходять до латинського перекладу (XVI в.) творів великого старогрецького математика Аполлонія і були введені у вживання в 70-80-х рр. XVII в. Г.В. Лейбніцем. Істотним поштовхом для подальшого розвитку «координатної» геометрії на площині була праця Ньютона «Перерахування кривих третього порядку» (1706) і книга його співвітчизника Дж. Справді, якщо М - довільна точка площини, то їй однозначно відповідає радіус-вектор . Визначення координат точки G перетину медіан трикутника АВС (центра мас трикутника): Перетворення афінних координат Нехай і - дві фіксовані афінні системи координат (репери) на площині. Спочатку математики мало приділяли уваги полярній системі координат. З рішення витікає, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного круга. Він прийшов до поняття центроїда, розглядаючи центр ваги однорідної трикутної пластинки На вищеназвані чотири точки була обернена особлива увага, і починаючи з XVIII століття вони були названі чудовими або особливими точками трикутника. У 1765 році Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, баріцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, названій пізніше прямою Ейлера. Великий внесок в розвиток геометрії трикутника внесли математики XIX - XX століть Лемуан, Брокар, Тебо та інші. 3.1 Центроїд Означення: пряма, що зєднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони, називається медіаною. Рис.3.1 Нехай дві із трьох медіан трикутника, наприклад BB? і CC? перетинаються в точці G, а L й M - середини відрізків GB й GC, те в силу теореми Евкліда: • якщо пряма лінія проведена паралельно одній стороні трикутника, то вона розсіче інші сторони пропорційно. Ми показали, що x = y = z, а це є Теорема: трикутник ділиться своїми медіанами на 6 менших трикутників рівної площі. 3.2 Ортоцентр Означення: ортоцентр (від грецьк. ????? - прямий) - це точка перетину висот трикутника. Не дивлячись на те, що перетин трьох висот трикутника в одній точці здавався очевидним, строгий доказ цього факту дав Карл Фрідріх Гаусс тільки в XVIII столітті. Рис.3.3 Чевіани AD, BE, CF, (Рис. 3.3), перпендикулярні прямим BC, CA, AB, відповідно, називаються висотами трикутника ABC. Із прямокутних трикутників ABE й ACF ми одержуємо ті ж значення для кутів EBA й ACF. Точка перетину внутрішніх бісектрис у трикутнику називається центром вписаного кола.