Характеристика напівгрупової конструкції для перетворень квазірегулярних рісівських напівгруп матричного типу. Особливість побудови концепції координатизації. Аналіз двобічних напівпрямих активних моноїдів. Сутність основної теореми Сушкевича–Ріса.
Т.1) зазначається, що по суті розвиток теорії напівгруп розпочався в 1928 році з публікації дуже важливої статті Сушкевича (Sushkevich 30-50), в якій показано (якщо користуватися сучасною термінологією), що кожна скінченна напівгрупа містить “ядро” (простий ідеал), і повністю описав будову скінченних простих напівгруп. Теорема Ріса справила сильний вплив на подальший розвиток теорії напівгруп. IMG_6faacd82-134d-4aa6-a5df-d0bc677bdf9b-прості напівгрупи описав локальну дію автоморфізмів регулярних рісівських напівгруп матричного типу, а в подальших роботах Петріча було описано оболонку зсувів таких напівгруп. Обєктом застосувань вінцевих голоморфів у даній роботі стали квазірегулярні напівгрупи Ріса матричного типу, напівгрупи ендоморфізмів та напівгрупи оболонок зсувів таких напівгруп.
Список литературы
Публікацію основних результатів дисертації здійснено у 9 роботах автора, з яких 4 є статтями у фахових періодичних виданнях, затверджених ВАК України, та 5 є тезами доповідей наукових конференцій.
Структура і обсяг роботи.
Дисертація обсягом 121 сторінка складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури, що містить 48 найменувань.
Кожний із розділів роботи складається з підрозділів, які в свою чергу розбиті на пункти.
Теореми та леми занумеровані в межах кожного підрозділу, а формули - в межах кожного розділу.
2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, зроблено короткий огляд відомих результатів, сформульовано мету і задачі дослідження, наведено основні результати дисертаційної роботи.
Важливою в теорії напівгруп є задача описання будови напівгруп того чи іншого класу. Одним з основних методів описання структурних властивостей напівгруп є метод координатизації, який полягає у побудові тієї чи іншої загальної теоретико-напівгрупової конструкції
IMG_15ee14e2-2e00-4605-8bff-31aee41850d2
, для якої мають місце теореми таких двох типів: 1. Для довільної напівгрупи
IMG_7972feb3-ff9b-4909-8d69-e1653ee77bed із деякого класу
IMG_fb0d6c18-5bf5-44fd-aac9-4769d6b1c7d3 -простою тоді і тільки тоді, коли вона є ізоморфною деякій регулярній напівгрупі Ріса матричного типу над групою з нулем.
Прикладом теореми координатизації другого типу є
Теорема (Крона - Роудза). Будь-який скінченний моноїд є гомоморфним образом деякого підмоноїда кратного вінцевого добутку простих скінченних груп і напівгруп лівих нулів та напівгруп правих нулів.
Концепція координатизації та деякі задачі, що природно виникають при узагальненні конструкції регулярної напівгрупи Ріса матричного типу, визначили постановку основних задач і тематику даної дисертаційної роботи.
У першому розділі викладено основні поняття, що стосуються обєктів дисертаційного дослідження і є необхідними для подальшого їх використання в наступних розділах при вирішенні основних задач дисертаційної роботи.
У другому розділі визначено категорію напівгрупових діаграм, універсальним обєктом якої є конструкція двобічного напівпрямого добутку напівгруп, яка є узагальненням конструкції подвійного напівпрямого добутку напівгруп, що була запропонована Біллхардтом для координатизації деяких класів напівгруп. Конструкцію двобічного напівпрямого добутку визначено за допомогою поняття тріади моноїдів, що узагальнює у відомому розумінні поняття групової пари.
IMG_0eb73a9c-177a-4750-9cee-6b514686498c у вигляді матриць
IMG_0b68c793-4a0f-4208-bbc6-fee772bb971c
, де
IMG_2886d7d3-c3a8-4b3e-9a71-bdbf613b612d - універсальний нуль (зовнішній анулятор), операцію вдається записати у вигляді “звичайного матричного множення”, а саме:
IMG_65507cbc-412b-42f6-b83b-3a6ebaf29ccf .
Одержуємо мультиплікативний моноїд
IMG_75bd8c80-4511-4053-b576-443192fa0a9e
.
Цю матричну реалізацію двобічного напівпрямого добутку
IMG_5e2b17bc-b645-4bbb-9fd4-22c06ac217fb ми будемо використовувати для зручності.
Конструкція двобічного напівпрямого добутку напівгруп є тісно повязаною з напівгруповою конструкцією подвійного напівпрямого добутку, причому є більш загальною, ніж остання.
Згорткою тріади
IMG_188d32fc-f7ba-4ac0-9d93-c0ef725ab2ab будемо називати моноїдну діаграму
IMG_0f60aed5-7409-4a3b-9af6-c8fa8661fe59 таку, що
IMG_9257d32c-f731-4279-ad86-5682ef2097eb і виконуються умови:
IMG_1921e719-f368-4c63-b520-427101c2e774 згорток тріад, що визначаються тріадою
IMG_594d6b64-3a06-495b-80d5-116d4e26a272 .
Основним результатом другого розділу є
Теорема 2.2.4. Двобічний напівпрямий добуток
IMG_f7d0a1fc-6c51-4a46-8759-828a234ac28f є універсальним обєктом категорії
IMG_cbb4405a-c534-48be-9ca9-50330cf48f18 згорток тріад, що визначаються тріадою
IMG_f8bca495-27d7-4b9c-9a95-8396666f3e71 .
Конструкція двобічного напівпрямого добутку дозволяє побудувати конструкцію вінцевого голоморфу, що є більш загальною, ніж конструкція вінцевого добутку.
IMG_4488021c-a2f0-4987-baa2-24b5d15f25b6 та антигомоморфізм
IMG_71be1d32-7b53-4b59-9dc0-2275bc829762
, і таким чином приходимо до двобічного напівпрямого добутку (в його матричній реалізації)
IMG_28c6ae89-c395-4039-8fed-daad09bd5860
, який будемо називати вінцевим голоморфом моноїда
IMG_2e400e54-beb0-4336-830d-2f75562ab1d3 та симетричної напівгрупи
IMG_071c4d77-6a64-4c7f-9367-79a140e16391 .
Вінцеві голоморфи (під іншою назвою: матричне сполучення напівгрупових пар із спільним операндом) вперше було введено Усенком В.М. Він вперше визначив і використав конструкцію вінцевого голоморфу моноїдів як одне з ефективних узагальнень конструкції вінцевого добутку.
Отже, конструкція вінцевого голоморфу є ефективною реалізацією двобічного напівпрямого добутку.
Конструкцією, двоїстою до конструкції вінцевого голоморфу, є конструкція інволютованого вінцевого голоморфу, будову якої безпосередньо видно з наступної рівності, яка цю конструкцію визначає:
IMG_7466845c-f6c8-421d-addd-8b1fca246466
IMG_a85e2d48-ca08-4c47-8166-8962b9e6d7fd .
Природно виникає матрична напівгрупа
IMG_0f296ac6-2759-4a76-90b5-9fca3e66f626
, елементами якої є матриці
IMG_c960963f-288a-4978-bf06-93dcf17fd710 де
IMG_94868d3b-54b4-4fe3-b470-6784f8b72a95 ,
IMG_462fedb8-7a33-4ef2-8fca-feef37830b22 - універсальний нуль, а операцією є “звичайне матричне множення”.
У третьому розділі розглянуто важливу теорему Сушкевича - Ріса та описання будови напівгруп ендоморфізмів регулярних рісівських напівгруп матричного типу над групою з нулем, отримане Усенком В.М. і одержано описання будови напівгруп рестриктивних ендоморфізмів квазірегулярних рісівських напівгруп матричного типу над довільним моноїдом з нулем.
Клас цілком
IMG_aab195a0-527e-4475-903a-3e9e15b4b62e -простих напівгруп посідає особливе місце в теорії напівгруп. Вивчення цього класу започаткувало етап інтенсивного розвитку теорії напівгруп. Структурну теорію цілком
IMG_e9300caa-8c3a-46f4-bc35-901bf428fd8c -простих напівгруп завершила в 1940 р. теорема Ріса, що узагальнила відповідний результат А.К.Сушкевича для скінченних напівгруп цього класу.
В роботах Є.С.Ляпіна, Л.М.Глускіна, А.І.Мальцева та інших математиків було отримано ряд результатів, якими виявлено ту особливу роль, яку відіграють цілком
IMG_8da4ea27-bce7-4b1d-a318-3168ca046218 -прості напівгрупи в будові деяких напівгруп перетворень. В подальшому розвитку структурної теорії напівгруп ці результати неодноразово узагальнювались. Однак довгий час залишалося відкритим питання про будову напівгрупи ендоморфізмів цілком
IMG_be51c934-1500-4383-a810-45e7ffec6362 -простої напівгрупи. Розвязав цю задачу Усенко В.М., використавши конструкцію вінцевого голоморфу (Усенко В.М. Эндоморфизмы вполне
IMG_b108aabd-0343-4665-a5f0-4c0708e0e04f -простых полугрупп // Вопросы алгебры. - Гомель:Изд-во Гомельского университета.- 1998.- Вып. 13. - С. 92-119).
Нехай
IMG_a91f25c6-0e8e-4f77-b748-4b045673203c - група оборотних елементів моноїда
IMG_03dc17ac-85b2-4f9f-a4cf-60b44d683880 , і нехай визначено відображення
IMG_536bd96d-157c-42f0-b6a7-4247e6f6f27f таке, що матриця
IMG_7c656410-f1a8-4cb6-83d0-6874e7f5d5ce над множинами
IMG_ebad9385-6fc6-448e-a4e8-381bd03e7c67 та
IMG_7289e947-d20c-457f-a7d6-39c9e7ef40ce за його головною конгруенцією
IMG_cb60df00-8356-4dec-ae22-7a5072a554e6 :
IMG_280084fc-1b1b-4072-9de1-e478d74c21b8 .
У четвертому розділі описано оболонку зсувів квазірегулярної напівгрупи Ріса матричного типу. Оболонка зсувів є однією з атрибутивних супутніх структур будь-якої напівгрупи. Тому задача описання оболонок зсувів у кожному класі напівгруп, який виникає, є канонічною.
Таку канонічну задачу описання оболонки зсувів одним з перших розглянув Петріч, описаши оболонки зсувів регулярних напівгруп Ріса матричного типу над групою з нулем. Питання про будову оболонок зсувів напівгруп Лаллемана і Петріча (тут ми їх називаємо квазірегулярними) залишилося, однак, відкритим в силу того, що досить специфічні методи Петріча виявились у цьому випадку неефективними.
Конструкцією, яка дозволяє працювати з перетвореннями рісівських матричних напівгруп у більш загальних ситуаціях, є декартовий вінцевий голоморф.
В підрозділі 4.1 описуються ліві та праві зсуви квазірегулярних напівгруп Ріса матричного типу. Структура напівгруп односторонніх зсувів описується в термінах конструкції вінцевого голоморфу.
Властивість квазірегулярності напівгрупи
IMG_222fd573-7326-4246-ae4a-ee1ee48f2285 зумовлює ідемпотентність кожного елемента
IMG_6741120a-74cf-4ad5-a7d7-f11527be3583 . Кожний односторонній зсув визначається своєю дією на ідемпотенти
IMG_a4f9b0ee-0e5e-4446-a172-6d36f7f43611 . Якщо
IMG_ccf0608c-ae4d-41f8-983e-e5906ea6bf42 - будь-який елемент квазірегулярної напівгрупи
IMG_fc26be2c-5b41-4c6a-ab15-af9331050647 , а
IMG_3342d24c-c585-4b39-b802-84fdc2c9f6dc - її будь-який лівий зсув, то
IMG_8c6bfcef-3878-412d-be65-45b65cc66456 має місце ізоморфізм
IMG_00d192ed-e94e-4ff0-adf2-422ed4e794fe
.
ВИСНОВКИ
В роботі розвязуються задачі вивчення властивостей вінцевих голоморфів напівгруп та подальшого їх використання в структурній теорії напівгруп.
Визначено нові поняття: тріада напівгруп, категорія згорток напівгрупових тріад.
Побудовано нову напівгрупову конструкцію - двобічний напівпрямий добуток напівгруп як універсальний обєкт категорії згорток.
Показано, що вінцеві голоморфи є двобічними напівпрямими добутками.
В термінах напівгрупових тріад та вінцевих голоморфів отримано нові результати структурної теорії напівгруп про будову напівгруп ендоморфізмів та про будову оболонок зсувів квазірегулярних рісівських напівгруп матричного типу. Ці результати доповнюють та узагальнюють визнані результати відомих спеціалістів.
РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Закусило А.И. Категории полугруппових триад // Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена памяті професора Л.М.Глускіна. - К.: Вид-во Інституту математики НАН України. - 1997. - С. 7-8.
2. Закусило А.И., Усенко В.М. О треугольных произведениях моноидов // Вопросы алгебры.- Гомель: Изд-во Гомельского университета. - 1998. - Вып. 12. - С. 13-21.
4. Закусило А.И. Нормальные произведения моноидов // Друга Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні, присвячена памяті професора Л.А.Калужніна. - Вінниця. - 1999. - С. 76-77.
5. Закусило А.И. Об эндоморфизмах вполне
IMG_74c9efc8-8cac-4c30-8a40-7ce82367c52e -простых полугрупп // Третя Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. - Суми. - 2001. - С. 180-181.
6. Закусило А.І. Ендоморфізми напівгруп Ріса матричного типу // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2002. - Випуск №2. -С. 64-69.
7. Закусило А.И., Усенко В.М. Голоморфные сплетения и сдвиговые оболочки полугрупп // Труды ИПММ. - 2005. - Т. 11. - С. 49-60.
8. Usenko V., Zakusylo A. The translational hulls of the quasiregular Rees-matrix semigroups // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts. - Odessa. - 2005. - P. 217.
9. Закусило А.І. Ендоморфізми напівгруп Ріса матричного типу // Наукова конференція памяті доктора фіз.-мат. наук, професора Левіщенка С.С. - К. - 2006. - С. 39-40.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
