Роботи Аполлонія Пергського про конічні перетини. Висновок рівняння кривої для перетину прямокутного конуса обертання, параболи, еліпса та гіперболи. Інваріантність конічних перерізів. Рівняння кривих другого порядку. Цікаві криві та їх властивості.
Узагальненя знань про криві другого порядку. Цікаві кривіПричиною такої надмірної уваги стали властивості кривих, утворених від конічніх перетинів. У наш час особливо важливою кривою другого порядку вважається парабола, що утворена від перетину конуса площиною, паралельною твірній конуса. Це фізичне явище, як інші явища, що демонструють нам криві другого порядку, може дати розвиток оптиці (еліптоїди), архітектурі (гіперболоїди й параболоїди), фізиці, космічним технологіям та навіть компютерній графіці.Чисто геометричними роботами Аполлонія є: робота «Про спіральні лінії», в якій він розглядає спіралі на поверхні циліндра, «Про торканні», де розбирається знаменита завдання Аполлонія: «Дано три речі, кожна з яких може бути точкою, прямою або колом; потрібно намалювати коло, яке проходило б через кожну з даних точок і стосувалося б кожного з даних прямих або кіл». Нехай ОАВ-перетин цього конуса (додаток 1) площиною, що проходить через вісь OL, і нехай PLK - слід площині, перпендикулярної до твірної цього конуса (рис. Це рівняння, або симптом, кривої, яке записується за допомогою буквеної символіки, а стародавні записували в словесно-геометричній формі: квадрат на напівхорді KM в кожній точці дорівнює прямокутнику PKSR, побудованому на відрізку PK осі до вершини (x) і на постійному відрізку PR (додаток 2). Аналогічно виводилося рівняння для перерізів гострокутного і тупокутного конусів, тобто еліпса та гіперболи: = і = де 2а-велика вісь еліпса або дійсна вісь гіперболи, а р - постійна. На звичній мові аналітичної геометрії, можна сказати, що до Аполлонія конічні перетини розглядалися по відношенню до прямокутній системи координат, причому одна з осей збігалася з головним діаметром, а друга проходила перпендикулярно до неї через вершину кривої; Аполлоній же відносив криві до будь-якого діаметру дотичній проведеній в одному з його кінців, тобто до деякої косокутної системи координат.Аналітично коло (додаток) є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки є постійною і дорівнює . Канонічне рівняння кола з центром в точці і радіусом має вигляд: . Еліпс має форму опуклої замкненої майже симетричної кривої (додаток 12). Якщо вибрати систему координат так, що вісь проходить через фокуси, а початок координат розташований посередині між ними, то рівняння еліпса набуває так званий канонічний (найпростіший) вигляд: , . Еліпс має дві осі симетрії (осі координат), чотири вершини (і - ліва і права відповідно, і - верхня і нижня відповідно). називаються великими півосями еліпса, - малими півосями еліпса.Нехай крива Г задана в декартовій прямокутній системі координат XOY рівнянням: (1.1) Якщо хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, то криву Г називають кривою другого порядку. Для довільної кривої другого порядку Г існує така декартова прямокутна система координат XO ? Y, що в цій системі крива Г має рівняння одного з таких канонічних видів: 1) , А ? b > 0 - еліпс, 2) - уявний еліпс, 3) - дві уявні пересічні прямі (крапка), 4) - гіпербола, 5) - дві пересічні прямі, 6) - парабола, 7) - дві паралельні прямі, 8) - дві уявні паралельні прямі, 9) - дві збіжні прямі. У залежності від значення інваріанту прийнята наступна класифікація кривих другого порядку: 1) Якщо , то крива другого порядку Г називається кривою еліптичного типу. Точка є центром кривої другого порядку, що визначається рівнянням (1.1), в тому і тільки в тому випадку, коли її координати задовольняють рівнянням: (2.1)Поверхнею другого порядку S називається геометричне місце точок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду: , де принаймні один з коефіцієнтів відмінний від нуля. Рівняння ах2 by2 cz2 dxy exz fyz gx hy kz l = 0 де принаймні один з коефіцієнтів а, b, c, d, e, f відмінний від нуля. називають загальним рівнянням поверхні другого порядку S, а систему координат Oxyz називають загальною системою координат. Теорема: Для довільної поверхні S, заданої загальним рівнянням існує така декартова прямокутна система координат що в цій системі поверхню S має рівняння одного з наступних сімнадцяти канонічних видів(додаток 23): 1) - еліпсоїд, 2) - уявний еліпсоїд, 3) - уявний конус (точка), 4) - однопорожнтнний гіперболоїд, 5) - двопорожнинний гіперболоїд, 6) - конус, 7) - еліптичний параболоїд, 8) - гіперболічний параболоїд, 9) - еліптичний циліндр, 10) - уявний еліптичний циліндр, 11) - дві уявні площини, що перетинаються (вісь OZ), 12) - гіперболічний циліндр, 13) - дві площини, що перетинаються, 14) - параболічний циліндр, 15) - дві паралельні площини, 16) - дві уявні паралельні площини, 17) - дві збіжні площині (площина XOZ). Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами: Якщо дано канонічне рівняння поверхні S, то уявлення про поверхню можна отримати за формою ліній перетину її площинами: Z = h - паралельними координатної площини XO "Y, X = h - паралельними координатної площини YO "Z, Y = h - паралельними координатної площини XO "Z.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
