Узагальнена еквівалентність матриць і їх наборів та факторизація матриць над кільцями - Автореферат

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наукРобота виконана у відділі у відділі алгебри Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Дрозд Юрій Анатолійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри алгебри та математичної логіки. Захист відбудеться _12 червня 2006 р. о _14_ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м.Задача про еквівалентність наборів матриць розвязана Вейерштрасом та Кронекером лише для пар матриць () у випадку, коли - поле. У випадку, коли поле P - алгебраїчно замкнене характеристики нуль і многочленні матриці неособливі або повних рангів, то для скінченних наборів таких матриць стосовно напівскалярно еквівалентних перетворень встановлено трикутну форму з інваріантними множниками на головних діагоналях. Усі наведені вище результати щодо напівскалярної еквівалентності многочленних матриць та їх наборів, так само як і їх застосування, стосуються матриць над кільцем многочленів P[x], де P-алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль, а самі матриці - неособливі або ж повних рангів. З узагальненої теореми Безу випливає, що коли двочлен B(x)=Ex-B є лівим дільником матричного многочлена над полем P, то матриця Y_0=B є розвязком відповідного матричного рівняння . Автор брав активну участь у цих дослідженнях як науковий керівник та виконавець бюджетних тем „Розробка методів дослідження структури матриць над поліноміальними кільцями та їх застосування“, 1994-1997 рр. (номер держреєстрації: 0194U015279), „Розробка методів дослідження структури матриць над кільцями і скінченновимірних алгебр Лі та їх застосування“, 1998 - 2002 рр. (номер держреєстрації: 0198U002532), „Алгебраїчні та комбінаторні методи в матричних кільцях, скіннченнопараметричних групах та топологічних групах“ (номер держреєстрації: 0103U000127) з 2003 р. відділу алгебри Інституту. еквівалентність матриця множник многочленУ вступі обгрунтована актуальність тематики, визначено мету та задачі дослідження, вказано наукову новизну, апробацію одержаних результатів, коротко викладений зміст дисертації та методи досліджень. У першому розділі наведено відомі поняття та результати, які стосуються еквівалентностей матриць, їх пар та скінченних наборів, а також методи факторизації многочленних матриць, їх звязки з іншими задачами, зокрема, із розвязуванням матричних многочленних рівнянь. У третьому розділі встановлюються важливі застосування стандартної форми пари матриць при вивченні властивостей інваріантних множників та канонічних діагональних форм матриць, в задачах їх подільності і факторизації.У дисертаційній роботі вивчаються різні типи еквівалентностей матриць, їх пар та скінченних наборів над певними кільцями, зокрема, головних ідеалів, адекватними кільцями та кільцями многочленів. Вперше знайдено форми пар та скінченних наборів матриць щодо цих перетворень та наведено їх застосування, зокрема, в задачах факторизації матриць. Для набору матриць, що складається з матриці та її дільників, встановлено умови його діагоналізовності; для трійки матриць вказано деяку форму стосовно узагальненої еквівалентності. Для довільних прямокутних матриць доведено, що коли матриця є дільником матриці , то її канонічна діагональна форма є дільником канонічної діагональної форми матриці . Вказано умови, за яких канонічна діагональна форма добутку матриць дорівнює добутку їх канонічних діагональних форм та виділено класи матриць, канонічні діагональні форми яких мають властивість мультиплікативності.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ