Узагальнені види збіжності у задачах теорії банахових просторів і теорії міри - Автореферат

Узагальнені види збіжності у задачах теорії банахових просторів і теорії міриУ процесі розвитку функціонального аналізу і загальної теорії топологічних просторів все ширше використовується поняття фільтру і збіжності за фільтром, яке було введене в 1937 р. Щоб вільно користуватися збіжністю за фільтром, потрібно розібратися, які з відомих теорем математичного й функціонального аналізу переносяться на цей вид збіжності, та яким чином можливість такого перенесення залежить від властивостей фільтра. Серед таких класів для теорії міри і інтеграла, перш за все, актуальним є дослідження «лебегівських» фільтрів (для яких виконується теорема Лебега про мажоровану збіжність); «єгорівских» фільтрів, які відповідають теоремі Єгорова про майже рівномірну збіжність; а також фільтрів F, для яких з поточкової F-збіжності випливає F-збіжність за мірою. Для теорії банахових просторів можна виділити клас фільтрів, для яких виконується критерій слабкої збіжності в C(K), тобто поточкова і слабка збіжності за фільтром обмежених послідовностей у C(K) є тотожними, і клас «шуровських» фільтрів, для яких сильна і слабка збіжності у банаховому просторі ?1 співпадають. знайдено характеризацію «єгорівських» фільтрів, для яких виконується теорема Єгорова про майже рівномірну збіжність; доведено, що для фільтра F виконується теорема Лебега про мажоровану збіжність тоді й тільки тоді, коли з поточкової F-збіжності випливає F-збіжність за мірою; отримано характеризацію «лебегівських» фільтрів; встановлено, що клас «єгорівських» фільтрів є власною підмножиною класу «лебегівських» фільтрів, зокрема, фільтр статистичної збіжності є «лебегівським», але не є «єгорівським»; також встановлено, що не існує вільних «лебегівських» ультрафільтрів;Фільтр - вільний, якщо він містить фільтр Фреше (). Фільтр називається-фільтром, якщо для кожної послідовності множин існує така множина , що для всіх . У розділі 2 - «Теореми про граничні точки та підпослідовності для фільтрів» - узагальнено на збіжність за фільтром дві відомі властивості звичайного поняття збіжності про граничні точки послідовності. Фільтр має властивість , якщо відображення , що ставить у відповідність кожній послідовності множину її-граничних точек , сюрєктивно. Фільтр має властивість , якщо для будь-якої послідовності і існує , для якого (тобто-збіжна до-підпослідовність).Охарактеризовані фільтри F, для яких множина F-граничних точок послідовності дійсних чисел може бути будь-якою замкненою підмножиною в R; дану властивість поширено на нескінченний топологічний простір; всі аналітичні фільтри мають цю властивість. Надано характеризацію єгорівських фільтрів, для яких виконується теорема Єгорова про майже рівномірну збіжність; доведено, що для фільтра F виконується теорема Лебега про мажоровану збіжність тоді й тільки тоді, коли з поточкової F-збіжності випливає F-збіжність за мірою; отримано характеризацію лебегівських фільтрів; встановлено, що клас єгорівських фільтрів є власною підмножиною класу лебегівських фільтрів, зокрема, фільтр статистичної збіжності є лебегівським, але не є єгорівським; також встановлено, що не існує вільних лебегівських ультрафільтрів. Доведено, що клас фільтрів F, для яких виконується критерій слабкої збіжності в C(K) не зміниться, якщо обмежити розгляд цієї властивості тільки на C [0,1]; показано, що ця властивість еквівалентна виконанню теореми Рейнвотера про перевірку слабкої збіжності на крайніх точках; встановлено, що є ультрафільтри, для яких ця властивість не виконується, та за припущенням континуум гіпотези є ультрафільтри, для яких ця властивість виконується; це доводить, що дана властивість строго слабша, ніж лебеговість фільтру.

Основний зміст роботи