Узагальнені поля Якобі і хаотичне представлення для гамма-поля - Автореферат

Національна академія наук України Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукРоботу виконано в Інституті математики НАН України. Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Березанський Юрій Макарович, Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник відділу функціонального аналізу. Офіційні опоненти: - доктор фізико-математичних наук, професор Кондратьєв Юрій Григорович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу математичної фізики;Дана робота відноситься до галузі нескінченновимірного аналізу, яку прийнято називати аналізом білого шуму і яку можна визначити як науку, яка пропонує конкретні засоби для дослідження простору та його оснащення (тобто просторів основних і узагальнених функцій на ), де - деякий нескінченновимірний простір (як правило, він складається з узагальнених функцій, заданих на R або R , d - натуральне число), ? - деяка ймовірнісна міра на , причому в перших роботах на цю тему в якості ? брали завжди гауссівську міру. Хіда використовував ізоморфізм Вінера-Іто-Сігала, який переводить простір Фока у простір ; оснащення останнього при цьому будується за оснащенням простору Фока. При такому підході використовується проекційна спектральна теорема і міра ? розглядається як спектральна міра деякого сімейства операторів, які діють у просторі Фока (це сімейство називається полем Якобі). Справа в тому, що коли простір Фока побудовано на одновимірному просторі, то він вироджується у простір , і тоді кожне конкретне поле Якобі являє собою множину всіх матриць, кратних деякій заданій матриці Якобі. Конкретизуючи цю мету, виділимо такі дві цілі: 1) отримати конструкцію, яка узагальнює спектральний підхід до аналізу білого шуму і підходить для описання як випадків, що можуть бути описані в рамках "класичного" спектрального підходу, так і відомих на сьогодні випадків, у яких фігурує розширений простір Фока; 2) побудувати (узагальнене) хаотичне представлення, повязане з гамма-мірою.У підрозділі 1.1 ідеться про конструкцію, повязану з полем Якобі у просторі Фока, описану в роботах Ю.М. Березанського. При цьому спочатку наводиться означення поля Якобі як сімейства операторів (залежних від параметра, що належить деякому лінійному топологічному простору Ф), які діють у (симетричному) просторі Фока F, мають тридіагональну і симетричну структуру відносно розкладу F на n-частинкові підпростори, а також задовольняють певним властивостям (зокрема, залежність компонентів матриці від параметра є лінійною, оператори сімейства самоспряжені й попарно комутативні). Після цього формулюється теорема 1.1 (спектральна теорема для поля Якобі), яка дає змогу побудувати певний повязаний з даним полем Якобі J ізометричний ізоморфізм I (він називається перетворенням Фурє), який переводить простір F у простір інтегровних з квадратом функцій на просторі, спряженому до Ф, за деякою ймовірнісною мірою ?, яка називається спектральною мірою поля Якобі J. Розділ 2 присвячений вивченню узагальненого поля Якобі, яке являє собою аналогічне до звичайного поля Якобі сімейство операторів, заданих в ортогональній сумі (по n від 0 до нескінченності) просторів, які є поповненнями за деякими скалярними добутками n-них симетричних тензорних степенів комплексифікації деякого дійсного зчисленно-гільбертового простору Ф. У цьому означенні фігурують такі самі вимоги, як і в означенні звичайного поля Якобі, наведеному в підрозділі 1.1, тільки замість простору Фока фігурує більш абстрактний простір.Результати дисертації зводяться до наступного: Описано таке узагальнення спектрального підходу до аналізу білого шуму, в рамках якого можна описувати як конструкції, до яких застосовний "класичний" спектральний підхід, так і конструкції, в яких фігурує розширений простір Фока. Наведено кілька прикладів узагальнених полів Якобі: а) поле Гаусса, яке є також звичайним полем Якобі; б) порівняно простий приклад узагальненого поля Якобі, яке не є звичайним полем Якобі; в) гамма-поле, яке також є узагальненим (але не звичайним) полем Якобі.