Устойчивость систем дифференциальных уравнений - Курсовая работа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ Курсовая работа на тему: Устойчивость систем дифференциальных уравнений Выполнил студент 2 курсаРешения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров.Решением системы (1) на интервале (a, b) называется совокупность n функций , непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если при всех : ; Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы, определенное в окрестности точки , которое удовлетворяет начальным условиям …, , где - заданная точка из области G. Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем в окрестности точки . Если - решение системы (1) на промежутке (a, b), то множество точек (x, ), , (n 1)-мерного пространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (), , n-мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования и единственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка определяется n 1 координатой.Будем рассматривать автономную систему в векторной форме: (2) где функция f(x) определена в . Автономные системы обладают тем свойством, что если - решение уравнения (2), то , , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение можно записать в виде . При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой , поэтому можно везде считать . Предположим теперь, что траектория решения не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют , такие, что .Множество W всех w-предельных точек траектории называется ее w-предельным множеством. Аналогично для траектории при определяется понятие а-предельной точки как предела , а также А-предельного множества. Траектория называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка является а-предельной и w-предельной, т. е. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя.В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду , где J - жорданова форма матрицы В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи: 1) вещественны, различны и . Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название - узел, изображена на рис. Преобразование приводит к виду где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом w или w-периодическими. Матрица В, определяемая равенством , называется матрицей монодромии. Часто матрицей монодромии называют ту, которая порождается нормированной при фундаментальной матрицей , то есть . Собственные числа матрицы монодромии называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа матрицы R - характеристическими показателями. Из определения R имеем , при этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным - характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Предположим, что система при старте из начальной точки порождает траекторию . Если обе траектории остаются близкими в любой последующий момент времени, то траектория называется устойчивой по Ляпунову. Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 2 Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория остается в замкнутой области), по Пуассону (траектория многократно возвращается в e-окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (две близкие на старте траектории остаются близкими всегда)Замена приводит (3) к виду , т. е. произвольное решение уравнения (3) переводится в тривиальное решение того же уравнения. Пусть и или , где - неособая при всех матрица, ограниченная по норме вместе с обратной . Любая фундаментальная матрица уравнения (3) ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме вместе с .

Содержание

Введение

1. Свойства систем дифференциальных уравнений

1.1 Основные определения

1.2 Траектории автономных систем

1.3 Предельные множества траекторий

1.4 Траектории линейных систем на плоскости

1.5 Линейные однородные системы с периодическими коэффициентам

2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений

2.1 Устойчивость по Ляпунову

2.2 Устойчивость линейных однородных систем

2.3 Устойчивость периодических решений уравнение дифференциальный плоскость устойчивость