Устойчивоподобные свойства инвариантных множеств динамических систем - Автореферат

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравненияРабота выполнена в Белорусском государственном университете. Официальные оппоненты: Борухов Валентин Терентьевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник отдела математической теории систем ГНУ «Институт математики НАН Беларуси»; Мазаник Сергей Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Белорусского государственного университета; Защита состоится 12 февраля 2010 г. в 10.00 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.07 при Белорусском государственном университете по адресу: 220030, Минск, ул.Ляпунов ввел основополагающие концепции понятий устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости, создал два метода решения этих задач для систем дифференциальных уравнений: разложение решений системы в ряды специального вида и использование вспомогательных функций (функций Ляпунова). Основные постановки задач об устойчивости, фундаментальные исследования в этой области, сделанные самим Ляпуновым, сохранили до наших дней свое первозданное теоретическое и практическое значение, получили мощное развитие во многих отраслях научного естествознания. Такой объект, как динамическая система, заданная на метрическом пространстве, с одной стороны, не утратил специфики свойств решений дифференциальных уравнений, а с другой стороны, дал приток новых сил и возможностей, используемых при изучении бесконечномерных пространств. В связи с этим единение задач качественной теории динамических систем с топологическими методами получило специальное название «топологическая динамика». Метод позволяет решать важные проблемы качественной теории динамических систем.Если М - замкнутое подмножество Х, то множество ={XIX: $ (tn)IR , tn® ?, что d(xtn,М®0} называется областью слабого притяжения М, а множество А(М)={XIX: d(xt, М)®0 при t® ?} - областью притяжения М. Для заданной динамической системы на метрическом пространстве Х с инвариантным подмножеством Y содержащем компактное множество М, определить условия, гарантирующие: а) устойчивость М, в) асимптотическую устойчивость М, с) глобальную асимптотическую устойчивость М относительно всего пространства Х, если М устойчиво, соответственно, асимптотически устойчиво или глобально асимптотически устойчиво относительно Y. В качественной теории динамических систем используется идея расщепления определения Ляпунова об асимптотической устойчивости на два составляющих его понятия: устойчивость и притяжение, начало которому положено построением примеров дифференциальных систем, обладающих притягивающими, но не устойчивыми точками покоя. Выведены условия полунепрерывности сверху и снизу псевдопролонгации как многозначного отображения s : K®2Х множества K всех компактных подмножеств из Х во множество 2Х всех подмножеств Х и установлена связь свойств полунепрерывности со свойством устойчивости компактных инвариантных множеств. Окрестность Н множества М в Y является областью притяжения асимптотически устойчивого относительно Y множества М в том и только в том случае, когда выполняются два условия: 1) для любого XIH L (x) - компактное подмножество Н;В работе построены основы качественной теории устойчивости движения (КТУД) как специального раздела общей качественной теории динамических систем, который до исследований автора не был обозначен в научной литературе.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ