Дифференциальное уравнение как соотношение между функциями и их производными в основе математического моделирования. Особенности уравнения в полных дифференциалах. Условие полного дифференциала (необходимый признак уравнения в полных дифференциалах).
Уравнения в полных дифференциалах.Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.Пусть уравнение вида f (t, x) dx g (t,x) dt = 0, F (t, x) = C является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая дифференцируемая функция F (t, x), что DF (t, x) = f (t, x) dx g (t, x) dt ((t, x) О D (f) = D (g)). Пусть функции t = y (s), x = j (s) определены на некотором промежутке J I R. Для уравнения с разделяющимися переменными f (x) dx - g (t) dt = 0 существует функция F (t, x) = F (x) - G (t), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Обобщенное утверждение об уравнении в полных дифференциалах. В частности, условиям данной теоремы удовлетворяет уравнение с разделенными переменными f1 (x1) dx1 f2 (x2) dx2 .Итак, если для уравнения f (t, x) dx g (t,x) dt = 0, F (t, x) = C условие полного дифференциала (необходимый признак уравнения в полных дифференциалах: ¶f ¶t = ¶g ¶x ((t, x) I J1?J2). не выполнено, то иногда удается найти функцию ? = ? (t, x), такую, что для уравнения m · f (t, x) dx m · g (t, x) dt = 0 оно уже выполнено. В этом случае функция m называется интегрирующим множителем. Общего способа нахождения интегрирующего множителя не существует, однако можно указать простые признаки существования и прием построения интегрирующих множителей, зависящих только от x или только от t. Если выражение в квадратных скобках не зависит от t, то m? = e e e? c e¶f ¶t - ¶g ¶xo ? o/gu u u· m. уравнение полный дифференциал есть линейное однородное уравнение относительно m = m (x); оно легко решается и дает интегрирующий множитель для f (t, x) dx g (t,x) dt = 0, F (t, x) = C.Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные. Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.
План
Содержание
Введение
1. Уравнение в полных дифференциалах
2. Интегрирующий множитель
Заключение
Список использованной литературы
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
