Уравнение Фредгольма первого и второго рода - Курсовая работа

Курсовая работа по дисциплине «Уравнения математической физики» Выполнил студент группы 010701В 1900 изложил основные свойства и теоремы теории интегральных уравнений, разработал общие методы решения некоторых их видов (т.н. В работе изложены характерные особенности интегральных уравнений и их классификация. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные понятия интегральных уравнений. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, т.е. пренебрегая второстепенным характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Если f(x)?0, то уравнение (2) называется неоднородным; если же f(x)?0, то уравнение (1) принимает вид: (3) и называется однородным.Решение уравнения Фредгольма второго рода: (1) дается формулой: (2) Где функция , называемая резольвентой Фредгольма уравнения (1), определяется равенством: (3)С помощью определителей Фредгольма найти резольвенту ядра k(x,t)=xet ; a=0 ; b=1. Имеем B0(x,t)=xet.(2) коэффициентов Bn(x,t) и Cn практически возможно лишь в очень редких случаях, но из этих формул получаются следующие рекуррентные соотношения: (3)Пользуясь формулами (3) и (4) найти резольвенту ядра k(x,t)=x-2t, где 0?x?1, 0?t?1.Для простоты выкладок будем предполагать, что: ядро k(x, s) непрерывно в квадрате a?x, s?b; тогда оно ограничено некоторой константой А, |k|?А. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], следовательно, она ограничена на этом отрезке некоторой константой В, |f|?В. Последовательность (2) - (4) функций ?n(x) равномерно сходится на отрезке [a, b], к функции ?(x), являющейся решением уравнения (1) при . Подставляя функцию ?1(x) в ?2(x), получим: Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования, получим: K1(x, s)=k(x, s), Аналогично находим: Где Следовательно, при таких ? ряд (6) сходится, а вместе с ним и последовательность функций ?n(x) равномерно сходится к функции . Эта функция является решением уравнения (1.) В самом деле, переходя в формуле (4) к пределу при n> ?, получимРешить интегральное уравнение , 0?x?1 методом последовательных приближений. , причем |?|<3 и в силу формулы: решение данного интегрального уравнения запишется в форме: , 0?x?1, ??3К интегральному уравнению Фредгольма первого рода приводит задача восстановления размытого изображения. Обозначим: (A) - плоскость фотопленки; (В) плоскость изображения объекта; R радиус объектива; f расстояние от линзы до плоскости (В); х и у координаты в плоскостях (A) и (В); v(x,y) - освещенность в плоскости (A); u(х,у) - освещенность в плоскости (В); S - поверхность фотокадра. Тогда в рамках геометрической оптики получаем, что пучок лучей, сходящийся в точку на плоскости (В), в плоскости (.A) равномерно осветит круг ?r радиуса t = Rh/f. Аналитически эта ситуация описывается так: сходящемуся в точку с координатами (?, ?;) на плоскости (В) световому пучку, несущему единичный световой поток, соответствует освещенность u0(х.у) = ?(x-?, y-?); при этом в плоскости (A) получим освещенность v0(х,у)=F[(x-?)2 (y-?)2]. Здесь ? - дельта-функция, Отсюда, распределенной освещенности в плоскости (B) соответствует освещенность в плоскости (А): Это соотношение является интегральным уравнением Фредгольма первого рода, определяющим u(х,у) при заданной v(x,у).

Содержание

Введение

1. Уравнение Фредгольма первого и второго рода. Основные понятия

1.1 Метод определителей Фредгольма

1.2 Пример нахождения резольвенты ядра

2. Рекуррентные соотношения

2.1 Пример нахождения резольвенты ядра с помощью рекуррентных соотношений

3. Метод последовательных приближений

3.1 Пример решения интегрального уравнения методом последовательных приближений

4. Физические примеры

4.1 Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма первого рода

4.2 Задачи, приводящие к уравнению Фредгольма второго рода

Список литературы