Понятие алгебраической системы (группы), ключевые условия, которым она удовлетворяет и ее нейтральный элемент. Основные свойства группы. Мультипликативные и аддитивные циклические подгруппы и группы. Теорема Лагранжа и характеристика следствий из нее.
Данная работа посвящена рассмотрению темы "Циклические подгруппы и группы". Теория групп - раздел общей алгебры , изучающий алгебраические структуры , называемые группами, и их свойства. Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m , в 1770-1771 гг. нашел Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп.Алгебраическая система называется группой, если А - полугруппа, в которой каждый элемент имеет нейтрализующий. Алгебраическая система называется группой, если бинарная операция "*" ассоциативна и обратима на множестве А. Алгебраическая система называется группой, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) операция "*" ассоциативна; Группа называется коммутативной или абелевой, если бинарная операция "*" коммутативна на множестве А. Группа называется конечной, если количество ее элементов конечно, и бесконечной, если количество ее элементов бесконечно.(1) => (3) a * b = a * c | * a’ слева а’ * (a * b) = a’ * (a * c) =>ассоциативность "*" (a’ * a) * b = (a’ * a) * c =>условие 3 определения группы e * b = e * c =>условие 2 определения 3 группы b = c (3). (b * a) * a’ = (c * a) * a’ =>ассоциативность "*" b * (a * a’) = c * (a * a’) => условие 3 определения группы b * e = c * e =>условие 2 определения 3 группы b = c (3). Свойство 4 . Нейтрализующий для произведения двух элементов равен "произведению" нейтрализующих для сомножителей, взятых в другом порядке: (a * b) ’= b’ * a’. Действительно, в силу обобщенной ассоциативности, имеем a * (b * b’) * a’ = e свойство нейтрализующего элемента a * e * a’ = e =>ассоциативность (a * e) * a’ = e =>свойство нейтрального элемента a * a’ = e =>свойство нейтрализующего элемента е = е. Свойство 5 . Нейтрализующий для нейтрализующего к элементу а равен самому элементу а.называется подгруппой мультипликативной группы А, если выполняются следующие условия: 1. Если Н А, Н - собственное подмножество множества А, то подгруппа называется собственной подгруппой группы А. Найти порядки элементов а = - 1, b = i, c = - i мультипликативной группы А = {1; - 1; i; - i} Пусть - группа, а А, а ? е, а - элемент n-го порядка, тогда: 1) Подгруппа (а) группы А имеет вид: (а) = {а0 = е, а, а2, …, an-1} - n - элементное множество неотрицательных степеней элемента а; Подгруппа , где (а) = {а0 = е, а, а2, …, an-1}, группы А, а - элемент n-го порядка, называется циклической подгруппой группы А (мультипликативной циклической подгруппой группы А).Пусть - аддитивная группа, Н - подмножество А, Н ? . называется подгруппой аддитивной группы А, если выполняются следующие условия: 1) Н замкнуто относительно " ": a, b H, a b H; 2) Существует ЕН = ЕА - нулевой элемент относительно операции сложения 2) Существует EZ = EQ = 0 - нулевой элемент относительно операции сложения; Если Н = А и Н = {е}, то подгруппа называется несобственной подгруппой группы А. Если Н А, то подгруппа называется собственной подгруппой группы А.Индекс подгруппы Н в группе А и ее порядок являются делителями порядка группы. Порядок элемента а, а ? е, = n-го порядка, является делителем порядка группы. = n-го порядка имеют вид: Hi = {a0 = e, ad, a2d, …, a (k-1) d}, i = 1, 2, …, где d - любой натуральный делитель порядка группы n = k?d, k - порядок подгруппы. Все циклические подгруппы аддитивной циклической группы n-го порядка имеют вид: Ні = {0, d, 2d, …, (k-1) d}, i = 1, 2, …, где d - любой натуральный делитель порядка группы n = k?d, k - порядок подгруппы. 4) Проверим, является ли группа коммутативной. х, у А выполняется ли равенство х у = у х? nk nl = nl nk n (k l) = n (l k) - выполняется, так как " " - коммутативная операция на Z.В заключении своей курсовой работы хочу подвести итог. Учебные вопросы, предположенные к раскрытию темы "Циклические подгруппы и группы" отработаны.
План
Оглавление
Введение
Теоретическая часть
§ 1. Группы. Различные определения. Примеры
§ 2. Свойства групп
§ 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы
§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы
§ 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее
Заключение
Литература
Введение
Данная работа посвящена рассмотрению темы "Циклические подгруппы и группы".
Теория групп - раздел общей алгебры , изучающий алгебраические структуры , называемые группами, и их свойства. Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изфучением соответствующих групп преобразований.
Например, если заданы фигуры на плоскости , то группой движений выясняется их равенство. Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m , в 1770 -1771 гг. нашел Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок.
Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти ученые также доказали некоторые важные теоремы теории.
Современное определение понятия "группа" было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком . В середине XX века была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп .
Целью данной работы является изучение темы "Циклические подгруппы и группы".
Задачи курсовой работы: · Изучить и изложить элементы теории групп, подгрупп.
· Самостоятельно подобрать и выполнить упражнения практического характера.
Теоретическая часть
Вывод
В заключении своей курсовой работы хочу подвести итог. Работа выполнена согласно методическому плану. Цели и задачи курсовой работы достигнуты. Учебные вопросы, предположенные к раскрытию темы "Циклические подгруппы и группы" отработаны. Теоретическая часть написана с помощью анализа учебной литературы, приведены примеры, иллюстрирующие теоретический материал.
Тема "Циклические подгруппы и группы" в настоящее время является актуальной, т.к. теория групп - один из разделов общей алгебры.
Список литературы
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: учебник для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник - М.: ТК Велби, издательство Проспект, 2007.
3. Нечаев И.В. Задачник-практикум по алгебре. - М.: Просвещение, 1983.
4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1977.
6. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по высшей алгебре. - М.: Просвещение, 1993.
7. Щипачев B. C. Основы высшей математики.4-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 2001.
8. А.М. Кондрашов. Сборник зачетных заданий по линейной алгебре. Часть 1. - Кр-ск, РИО КГПУ, 2001.
9. Л.Я. Окунев. Высшая алгебра. - М.: Просвещение, 1966.
10. Ф.Л. Варнаховский, А.С. Солодовников. Алгебра. Часть 1 и 2. - М.: Просвещение, 1978.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
