Трикутники площини Лобачевського - Курсовая работа

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Національний педагогічний університет імені М.П.ДрагомановаУважне вивчення системи Евкліда привело вчених до висновку, що в «Началах» є досить серйозні недоробки. Наприклад, число аксіом, сформульованих Евклідом, є недостатнім для строгого викладу геометрії, тому Евклід при викладі деяких своїх доведень спирався на безпосередню очевидність, наочність, інтуїцію і чуттєві сприйняття. Окрім геометрії, яку вивчають в школі(Геометрії Евкліда), існує ще одна геометрія, геометрія Лобачевского. Ця геометрія істотно відрізняється від Евкліда, наприклад, в ній стверджується, що через цю точку можна провести безліч прямих, паралельних цій прямій, що сума кутів трикутника менше 180о. Ці аксіоми свого часу відповідали рівню суворості геометрії.Серед аксіом Евкліда була аксіома про паралельність прямих, а точніше, пятий постулат про паралельні лінії: якщо дві прямі утворюють з третьою за одну її сторону внутрішні кути, сума яких менше розгорнутого кута, то такі прямі перетинаються при достатньому продовженні з одного боку. У сучасній формулюванні вона говорить про існування не більше однієї прямої, що проходить через дану точку поза даною прямою і паралельної цій даної прямої. Складність формулювання пятого постулату породила думку про можливу залежності його від інших постулатів, і тому виникали спроби вивести його з інших передумов геометрії. Лобачевського в Росії, виникла думка про існування геометрії, в якій вірна аксіома, що замінює пятий постулат: на площині через точку, не лежить на даній прямій, проходять, принаймні, дві прямі, не перетинають дану.Виникає питання: скільки ж через точку М, яка не лежить на прямій а, проходить прямих, паралельних прямій а? Якщо має місце V постулат, то через кожну точку М, що не лежить на прямій а, проходить тільки одна пряма, паралельна прямій а. Проведемо пряму MN, перпендикулярну до прямої а, N а, і пряму b, що проходить через точку М перпендикулярно до прямої MN. Розглянемо перпендикуляр MN, проведений з точки М до прямої АВ, і пряму MP, перпендикулярну до прямої MN (мал. Пряма MS2, симетрична прямій MS1 відносно прямої MN також не перетинає пряму АВ(мал.Як показав Лежандр, твердження, що сума кутів трикутника дорівнює еквівалентне постулату. Тому, на площині Лобачевского, сума кутів трикутника не повинна дорівнювати . Виникає запитання: якому конкретно числу дорівнює сума кутів трикутника на площині Лобачевского? Припустимо, що сума кутів трикутника на площині Лобачевского є величина стала і дорівнює . За теоремою Паша (Якщо пряма, яка не проходить через вершини трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає рівно дві його сторони) пряма перетинаючи сторону перетинає ще одну сторону цього трикутника.Відкриття неевклідової геометрії, початок якому поклав Лобачевський, не лише зіграло величезну роль в розвитку нових ідей і методів в математиці природознавстві, але має і філософське значення. Думка, що панувала до Лобачевського, про непорушність геометрії Евкліда значною мірою грунтувалася на вченні відомого німецького філософа И. Кант стверджував, що людина упорядковує явища реального світу згідно з апріорними уявленнями, а геометричні представлення і ідеї нібито апріорні (латинське слово aprior означає - спочатку, заздалегідь), тобто, не відбивають явищ дійсного світу, не залежать від практики, від досвіду, а є природженими людському світу, раз і назавжди зафіксованими, властивими людському розуму, його духу. Відкриття неевклідової геометрії довело, що не можна абсолютизувати уявлення про простір, що евклідова геометрія не є єдино можливою, проте це не підірвало непорушність геометрії Евкліда. Тільки практика може вирішити питання про те, яка геометрія достовірніше відображає властивості фізичного простору.

Зміст

Вступ

Розділ 1. Неевклідова геометрія, або геометрія Лобачевського

1.1 Історія виникнення геометрії Лобачевського

1.2 Основні поняття, аксіоми і наслідки з них

Розділ 2. Властивості трикутників на площині Лобачевского

Висновки

Список використаних джерел