Трикутник Паскаля та його застосування - Курсовая работа

У звязку з інтенсивним розвитком компютерних та інформаційних технологій, зростає число різноманітних комбінаторних задач та задач повязаних із трикутником Паскаля. Трикутник Паскаля широко використовують у різних розділах математики, інформатики та інших науках. Вивчення трикутника Паскаля займає значне місце у шкільному курсі математики. Учні опановують математичний апарат, який може ефективно застосовуватися під час розвязання задач із математики, інформатики. В останні десятиліття розширилося коло дослідників трикутника Паскаля, його плоских і просторових аналогів і узагальнень.Блез Паскаль - французький релігійний філософ, письменник, фізик, математик XVII ст., який народився 19 червня 1623 р. в місті Клермон-Ферран (Овернь ). На його честь була названа всесвітньо відома мова програмування Pascal, а також одиниця вимірювання тиску (Паскаль). Праці Паскаль, що містять викладений у геометричній формі інтегральний метод розвязання низки задач на обчислення площ фігур, обємів і площ поверхонь тіл, а також інших завдань, повязаних з циклоїдою, стали істотним кроком у розвитку аналізу нескінченно малих. Блез Паскаль був одним із перших, хто описав властивості та застосування арифметичного трикутника, якому він присвятив спеціальний трактат, опублікований 1653 році, вже після його смерті. Пізніше трикутник досліджується перським і таджицьким поетом, астрономом і математиком Омаром Хайямом (1048-1131рр.), тому в Ірані цю схему називають трикутником Хайяма.У цьому трикутнику на вершині і з боків стоять одиниці (Рис.3.), а кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел (Рис.4).[6, c.18] Розглянемо деякий рядок чисел , n = 0,1,2….(при n=0 цей рядок «вироджується» в рядок, що складається із єдиного числа ). Тепер розглянемо рядок, що складається із одного числа - одиниці. Оскільки при переході до кожного наступного рядка число члені цього рядка збільшується на одиницю, то в n-му рядку Паскаля буде n 1 число. Записавши рядки Паскаля, починаючи із нульового, один під одним, так щоб кожне число кожного рядка опинилося між тими числами попереднього рядка, сумою яких воно являється, можна отримати нескінченну таблицю - арифметичний трикутник Паскаля.Для цього необхідно, знайшовши останній доданок, звернути увагу на число, яке знизу і зліва (якщо нумерувати ряди з правого боку) або праворуч (якщо нумерувати ряди з лівого боку) від останнього доданку. Наприклад, щоб дізнатися, що в сумі дадуть всі числа четвертого ряду від 1 до 56, досить, знайшовши 56, поглянути, що написано зліва внизу - це число 126. друге і передостаннє числа рівні n, - третє число одно трикутникове числу , що також дорівнює сумі номерів попередніх рядків. четверте число є тетраедричним, [17,, c.10], - m-е число дорівнює числу сполучень m-1 з n-1. Не менш важливими є такі властивості числової таблиці як: сума чисел n-го рядка трикутника Паскаля дорівнює ; всі числа в n-му рядку, крім одиниць, діляться на число n, тоді і тільки тоді, якщо n - просте число; в кожному рядку трикутника Паскаля сума чисел, що розміщені на непарних місцях, рівна сумі чисел розміщених на парних місцях.Трикутник Паскаля одна із найвідоміших арифметичних таблиць, яка знайшла своє застосування у різних областях математики, фізики та інформатики. Наприклад, скількома способами можна вибрати 6 карт з колоди; чи скількома способами можна скласти чергу, яка складається із10 чоловік і т.д. Так, наприклад, за допомогою трикутника Паскаля можна розвязати таку комбінаторну задачу: Один шейх, слідуючи законом гостинності, вирішує віддати своєму гостю трьох із семи своїх дружин. Знайдемо число, яке стоїть на перетині третьої діагоналі та сьомого рядка: воно виявиться рівним 35. Якщо, переплутавши номера діагоналі і рядка і шукати число, що стоїть на перетині сьомої діагоналі та третього рядком, то виявите , що вони не перетинаються.У математиці дуже відома така формула: , (1) де коефіцієнти називаються біноміальними коефіцієнтами. Встановлено, що формула (1) була відома ще індійським і старо-арабським математиком; Ньютон же виявив формулу бінома для більш загального випадку, коли показник степеня n є довільним раціональним числом (в тому числі відємним). Біномінальні коефіцієнти можуть бути виражені за допомогою операції Паскаля (операція знаходження по числам n і k числа ). Візьмемо біном і піднесемо його до степеня 0, 1, 2, 3 і так ділі, розташовуючи отриманий при цьому многочлен по зростаючим степеням букви . У формулі (6) многочлен, який розміщений у правій частині даного співвідношення, називається розкладом бінома для показника .Числа Фібоначчі - елементи числової послідовності 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 144…у якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Першим цей звязок виявив угорський, швейцарський і американський математик і популяризатор науки Дьордь Пойа, який досліджуючи діагональні суми трикутника Паскаля прийшов до висновку, що суми чисел, які розміщені по діагоналях, дорівнюють числам Фібоначчі (Рис.8).

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ТИРИКУТНИК ПАСКАЛЯ

1.1 Історія трикутника Паскаля

1.2 Принцип побудови трикутника Паскаля

1.3 Основні властивості трикутника Паскаля

РОЗДІЛ ІІ. ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ТРИКУТНИКА ПАСКАЛЯ

2.1 Застосування трикутника Паскаля у комбінаториці

2.1.1 Звязок із біноміальними коефіцієнтами

2.1.2 Звязок коефіцієнтів трикутника з числами Фібоначчі

2.1.3 Звязок із числами Каталана

2.1.4 Трикутні, тетраедричні та прості числа в арифметичній таблиці

2.2 Застосування трикутника Паскаля у інших розділах математики

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ