Тригонометричні рівняння в шкільному курсі математики - Курсовая работа

КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені Володимира Винниченка (КДПУ) Курсова робота з методики вивчення математики на тему: Тригонометричні рівняння в шкільноми курсі математики студента 45-ї групи фізико-математичного факультету Тригонометричні рівняння, в яких невідома входить лише під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розвязків, або мають здебільшого безліч їх внаслідок властивості періодичності тригонометричних функцій.Тригонометричні рівняння, в яких під знаком тригонометричної функції знаходиться функція Рівняння, які розвязуються за допомогою формул пониження степення Рівняння, які розвязуються за допомогою формул подвійного та потрійного аргументів Рівняння, які розвязуються перетвореннями суми тригонометричних функцій у добуток або добутку в сумуБібліографічний списокРозвязування математичних задач є найважливішим видом учбової діяльності, в процесі якої учнями засвоюється математична теорія і розвиваються логічне мислення і творчі здібності. Розвиток творчих здібностей старших класів, що вивчаються, при навчанні математиці здійснюється ефективніше при залученні їх в творчу діяльність, яка включає: 1. Порівняння і аналіз різних рішень однієї задачі робить знання міцнішими і усвідомленими. Встановлено, що рішення однієї і тієї ж задачі декількома способами приносить більше користі, чим вирішення підряд такого ж числа стереотипних завдань. Вирішення складних завдань по математиці багато в чому залежить від досвіду їх рішення, від ступеня оволодіння методами їх рішення і технікою перетворень.Тригонометричними рівняннями називаються рівняння, в яких невідома (змінна) входить лише під знак тригонометричної функції. Тригонометричні рівняння, в яких невідома входить лише під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розвязків, або мають здебільшого безліч їх внаслідок властивості періодичності тригонометричних функцій. Як правило, розвязування будь-якого тригонометричного рівняння зводиться до розвязування найпростыших рывнянь виду , , tg x=a. Рівняння ctgx=a рівносильне рівнянню tgx= , тому немає потреби розглядати його окремо. Як видно з малюнка, пряма у=а за цієї умови перетинає синусоїду у двох точках Р1 і Р2, абсциси яких належать проміжку (0; ).Перенесемо sinx в ліву частину рівняння і отриману різницю перетворимо в добуток. sin3x - sinx == 0; 2sinx·cos2x = 0.Помножимо обидві частини рівняння на cosx. x1 = pn, NIZ; cosx - cos(p/2 - x) =-1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) =-1; O2 · sin(p/4 - x) =-1; sin(p/4-x) =-1/O2; p/4 - x = (-1) n 1 arcsin 1/O2 pn, NIZ; 2cos x*cos 3x=cos x Розвязання: 2cos x cos2x-cosx=0; cos x(2cos 3x-1)=0; cos x=0 або cos 3x=1/2; За формулами зведення маємо: Згрупуємо доданки: .Розвязання.2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x 3cosx-2=0. Розвязання: sin x 2(1-sin2x)-1=0; 2sin2x-sin x-1=0 Нехай sin x=t, |t|?1, тоді маємо: 2t2-t-1=0, t1=1 або t2=-1/2.Однорідні тригонометричні рівняння мають такий вид: a sin2x b sinxcosx c cos2x = 0 Рішаються вони діленням обох частин на sin2x або на cos2x і зводяться до рівнянь відносно tgx або ctgx. Отримаємо рівняння O3sin22x - 4sin2xcos2x O3cos22x = 0. Рівняння прийме вид O3 tg22x - 4tg2x O3 = 0. Розвязки рівняння не є коренями даного рівняння (інакше дістали б , що одночасно неможливо), тому поділимо рівняння на Дістанемо рівняння-5=0 з якого , (інший множник лівої частини, тобто рівняння 5=0 дійсних коренів не має).Розглянемо кілька способів розвязування таких рівнянь. Тоді рівняння подамо у вигляді , або . Отже, дістали просте рівняння, яке має розвязки за умови . Якщо ця множина є розвязком даного рівняння, що рівносильно умові b=-c то використання універсальної підстановки може призвести до втрати цієї множини. Тому обовязково треба робити перевірку, чи будуть розвязки задовольняти рівняння.Рівняння, що містять тригонометричні дроби, називаються дробово-раціональними рівняннями. У цих рівняннях потрібно стежити за областю допустимих значень.У таких рівняннях слід дотримувати всі правила, якими користуються при вирішенні звичайних ірраціональних рівнянь (враховується область допустимих значень як самого рівняння, так і при звільненні від кореня парного степеня). Особливої уваги заслуговують тригонометричні рівняння з складною залежністю, коли під знаком тригонометричної функції знаходиться яка-небудь інша функція. Якщо в рівнянні f(x)=g(x) при будь-якому допустимому х виконуються умови f(x)=a, g(x)=a, де а - деяке дійсне число, то дано рівняння рівносильно системі R(sinkx, cosnx, tgmx, ctglx) = 0 (3) де R - раціональна функція, к,n,m,LZ, за допомогою тригонометричних формул подвійного і потрійного аргументу, а також формул складання можна звести до раціонального рівняння рівнянню щодо аргументів sinx, cosx, tgx, ctgx, після чого рівняння (3) може бути зведене до раціонального рівняння відносно t=tg(x/2) за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки F(х, у, ..., z; ?,?, ..., ?) =0 (F), Ф (х, у, ..., z; ?,?, ..., ?) =0 (Ф) з невідомим х, у...

План

Вступ

I. Класифікація тригонометричних рівнянь за методами їх розвзування

1. Прості тригонометричні рівняння

2. Двочленні рівняння

3. Розкладання на множники

4. Спосіб підстановки

5.Однорідні рівняння

6. Рівняння вигляду а sinx b cosx = с

7. Дробово-раціональні тригонометричні рівняння

8. Ірраціональні тригонометричні рівняння