Скалярное произведение и ортогональность. Экспоненты мнимого аргумента, а также среднеквадратичное отклонение. Образование полной системы попарно ортогональных функций. Комплексная функция вещественной переменной. Вычисление коэффициентов Фурье.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯТригонометрический ряд Фурье - представление произвольной функции с периодом в виде ряда: или используя комплексную запись, в виде ряда: Скалярное произведение и ортогональность Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида sin(kx), cos(kx) попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных . и при всех целых неотрицательных k, l: Еще одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве . Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида то, она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду). Иными словами, если обозначить через Sk(x) частичные суммы ряда (1): то их среднеквадратичное отклонение от функции f будет стремиться к нулю: Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно (см. ниже). Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением: Мы также рассматриваем систему функций: Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье: , где ряд в правой части сходится к f по норме в .
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
