Построение квадрата, равновеликого данному кругу (сокращенно, квадратура круга). Деление произвольно заданного угла или дуги на три равновеликие части (трисекция угла). Построение куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба (удвоение куба).
Аннотация к работе
ТРИ ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИДревнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки.Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2 ? r, а так как площадь круга равна S = ? r2 , то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2 ? r и высотой r. Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала принципиальная ее сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построение с помощью циркуля и линейки? В комедии «Птицы» (414 г. до н. э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста астронома Метона следующие слова: Возьму линейку, проведу прямую, И мигом круг квадратом обернется, Посередине рынок мы устроим, А от него уж улицы пойдут- Один из современников Сократа - софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцатиугольник и т. д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольется с окружностью.Так, деление прямого угла на три равные части умели производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°. Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN (рис. Построим биссектрису \AD\ угла CAB, получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных угла: NAD, DAB, ВАМ. 5. однако не в общем случае, т. е. любой угол невозможно разделить на три равные части с помощью только циркуля и линейки. Линейку СВ, на которой нанесена длина |СВ| радиуса r (например, с помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы ее точка С скользила по продолжению диаметра (EF), а сама линейка все время проходила бы через точку А окружности, пока точка В линейки не окажется на окружности.Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в корень кубический из 2 раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба. Задача состоит в построении куба, имеющего объем, вдвое больший объема данного куба. Задача является естественным обобщением аналогичной задачи об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а2, служит отрезок длиной равной диагонали данного квадрата со стороной а. Наоборот, удвоение куба - задача не простая, так как ребро куба, объем которого равен 2а3 не может быть построен с помощью циркуля и линейки.Так, уже в IV в. до н. э древнегреческие математики умели находить корень уравнения х3 = 2а3 как абсциссу точки пересечения двух парабол х2 = ау и у2 = 2ах , а также других конических сечений.