Тотожні перетворення в полі раціональних чисел - Дипломная работа

Міністерство освіти і науки, МОЛОДІ ТА СПОРТУ України Виконала: Жилка Оксана Вікторівна студентка 5 курсу факультету заочного навчання освітньо-кваліфікаційного рівня «Спеціаліст»Дійсно, без знання тотожних перетворень не можна розвязувати рівняння, доводити теореми, не можна вивчати й вузівську математику. Розгортання лінії тотожних перетворень у сучасному шкільному курсі математики (ШКМ) відбувається за напрямами: - формування основних понять: вирази (числові та зі змінними); види виразів (цілі - одночлен, многочлен; дріб, дробовий вираз); відповідні значення виразів; тотожно рівні вирази; тотожність; тотожне перетворення; способи тотожних перетворень виразів різних видів); У практиці роботи сучасної загальноосвітньої школи в реалізації лінії тотожних перетворень виразів виокремлюють такі етапи: - пропедевтичний, що має на меті набуття навичок найпростіших перетворень, які спираються на властивості арифметичних операцій і робляться вже в початковій школі (3-4 класи); За мірою накопичення матеріалу зявляється можливість виділити і загальні риси всіх перетворень, що розглядаються, і на цій основі ввести поняття тотожного і рівносильного перетворень (7 клас); Разом з тим у обгрунтуванні кожного виду тотожних перетворень учні повинні чітко усвідомлювати, що правила виконання тотожних перетворень не є чимось абсолютно новим, а природньо витікають з відомих законів і властивостей.Над елементами цих множин доводиться виконувати дії, які прийнято називати алгебраїчними. Говорять, що в множині M визначена алгебраїчна дія, якщо вказано закон, за яким будь-яким двом (різним чи однаковим) елементам а і b цієї множини, взятим у певному порядку, ставиться у відповідність цілком певний елемент з цієї множини. Алгебраїчну дію, визначену в множині М, можна назвати додаванням; тоді с називають сумою елементів a і b і символічно записують c=a b; алгебраїчну дію, визначену в множині М, можна назвати множенням, тоді с називають добутком елементів a і b та записують c=ab. Дійсно, ми говоримо, що в множині M (в якій визначена дія додавання) здійснюється дія віднімання, якщо для будь-якої пари елементів a,b множини M існує в цій множині єдиний елемент d такий, що b d=a. Аналогічно ми говоримо, що в множині М (в якій визначена дія множення) здійсненна дія ділення, якщо для будь-яких двох елементів a і b множини М існує в цій множині єдиний елемент q такий, що bq=a.Поле Р називається упорядкованим, якщо для його елементів встановлено відношення a<b (a менше від b), що має такі властивості: 1) для будь-яких елементів a і b поля Р має місце одне й тільки одне зі співвідношень: a = b, a <b, b <a; В основу визначення упорядкованого поля можна покласти також відношення a>b і означити упорядковане поле так: Поле Р називається упорядкованим, якщо для його елементів встановлено відношення a>b (a більше від b), що задовольняє переліченим вище вимогам 1-4. Виходячи з такого визначення упорядкованого поля Р, можна в цьому полі визначити відношення aa. 3 викладеного вище випливає, що поле Р, упорядковане за першим визначенням, буде упорядкованим і за другим визначенням і, навпаки, поле, упорядковане за другим визначенням, буде упорядкованим і за першим. Елемент а упорядкованого поля Р називають додатним, якщо він більший від нуля; елемент а упорядкованого поля Р називають відємним, якщо він менший від нуля.Будь-яке раціональне число є часткою цілих чисел, тобто і , то Доведення. Позначимо через М підмножину Q всіх таких раціональних чисел, які можна представити у вигляді частки цілих чисел. Оскільки система (P; ,0,>) - лінійно і строго упорядкована напівтрупа, то, якими б не були цілі числа , Далі помітимо, до для будь-яких цілих : . З цих зауважень легко вивести, що відображення f множини раціональних чисел Q у множину Р , яке визначається умовою є ізоморфне відображення поля раціональних чисел на деяке підполе поля (Р; ,*,0,е). У припущенні, що аксіоматична теорія раціональних чисел не суперечна, доведемо, що обидві будь-які моделі, на яких виконуються усі пятнадцять аксіом нашої теорії, ізоморфні.Це повязане як з різким збільшенням кількості та різноманітності перетворень, що здійснюються, так і з ускладненням діяльності по їх обґрунтуванню та зясуванню умов застосування, з виділенням і вивченням узагальнених понять тотожності, тотожного перетворення, рівносильного перетворення, логічного наслідку. Засноване на цій тотожності тотожне перетворення переводить дане рівняння в рівносильне йому рівняння . Система прийомів і правил проведення перетворень, що використовується на етапі початків алгебри, має дуже широку область додатків: вона використовується у вивченні всього курсу математики. По відношенню до тотожних перетворень уявлення про цикл може бути таким: цикл вправ, повязаний з вивченням однієї тотожності, навколо якої групуються інші тотожності, що знаходяться з нею в природному звязку.

Зміст

Вступ

Розділ І. Теоретичні основи абстрактної алгебри

1.1 Поняття кільця і поля

1.1.1 Упорядковані поля

1.2 Первинні терміни й аксіоми аксіоматичної теорії раціональних чисел

1.2.1 Властивості раціональних чисел

1.2.2 Категоричність аксіоматичної теорії раціонаьних чисел

1.2.3 Несуперечність аксіоматичної теорії раціонаьних чисел

Розділ ІІ. Забезпечення технології вивчення тотожних перетворень раціональних виразів

2.1 Логіко-дидактичний аналіз змістовно-методичної лінії тотожних перетворень

2.2 Сутність профільної диференціації навчання

2.3 Технологія організації навчальної діяльності школярів з теми «Раціональні вирази» в умовах профільної диференціації навчання

Висновки

Список використаних джерел

Додатки