Топологічна та символьна складність унімодальних відображень - Автореферат

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Робота виконана в Інституті математики НАН України. Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук КОЛЯДА Сергій Федорович, Інститут математики НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії динамічних систем.До початку 70-х років минулого століття зусилля дослідників були здебільшого зосереджені на вивченні динаміки гомеоморфізмів (як правило дифеоморфізмів), в той час як необернені (маловимірні) неперервні відображення майже не вивчались. Вона формулюється так: якщо однопараметрична сімя відображень є монотонною функцією параметра, то чи буде топологічна ентропія також монотонною функцією параметра? Зокрема, довгий час відкритим було питання: чи є топологічна ентропія для сімї квадратичних відображень монотонною функцією параметра і багато зусиль було спрямовано на її розвязання. Повне доведення монотонності ентропії для таких відображень було наведено Мілнором та Тьорстоном у їх спільній роботі. Методи доведення для цього класу дають можливість робити узагальнення для неполіноміальних сімей, а також знаходити принципово нові відображення, для яких топологічна ентропія була б монотонною функцією.Другий підрозділ присвячено топологічній ентропії - одному з центральних обєктів теорії динамічних систем, зокрема, проблемі монотонності топологічної ентропії як функції на просторі неперервних відображень відрізка. У випадку, коли - сімя кусково-монотонних (таких, що мають скінчене число інтервалів монотонності) і, зокрема, унімодальних відображень існує зручна формула обчислення топологічної ентропії для довільного де - число інтервалів монотонності відображення. Проблема монотонності топологічної ентропії формулюється так: якщо сімя відображення є монотонною функцією параметра, то чи вірно, що топологічна ентропія буде монотонною функцією параметра? Як приклад, Цуджі розглянув сімю відображень, для якої топологічна ентропія - монотонна функція параметра: Використовуючи результат Цуджі, в підрозділі 2.1 ми знаходимо принципово новий клас однопараметричних сімей унімодальних відображень, для якого топологічна ентропія є монотонно зростаючою функцією параметра. У другому підрозділі вивчається клас кусково-лінійних унімодальних відображень і досліджуються властивості монотонності топологічної ентропії для однопараметричних сімей таких відображень.Дисертацію присвячено дослідженню топологічної та символьної складності (дискретних) динамічних систем, що задаються неперервними відображеннями на відрізку. Вивчаються властивості монотонності топологічної ентропії для відображень відрізка прямої, а також досліджується символьна складність підзсувів, які породжуються відображеннями відрізка з заданими комбінаторними властивостями. Наукова новизна дисертації полягає в отриманні таких результатів: - Узагальнено умови монотонності топологічної ентропії для деяких неполіноміальних сімей унімодальних відображень і знайдено принципово нові класи відображень, для яких топологічна ентропія - монотонна функція параметра.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ