Розв"язання ряду актуальних проблем теорії дискретних динамічних систем, що задаються неперервними відображеннями на компактних просторах. Обчислення та аксіоматичні означення топологічної ентропії. Дослідження властивостей трикутних відображень.
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИмат. наук, професор, член-кореспондент НАН України ШАРКОВСЬКИЙ Олександр Миколайович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу теорії динамічних систем. Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор ПАРАСЮК Ігор Остапович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, декан механіко-математичного факультету; доктор фіз.-мат. наук, професор, член-кореспондент НАН України САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу функціонального аналізу; доктор фіз.-мат. наук, професор ЧЕБАН Давид Миколайович, Молдавський державний університет, професор кафедри математичного аналізу і диференціальних рівнянь. З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.Завдяки своїй універсальності, теорія динамічних систем використовує методи різних областей математичної науки (алгебри, аналізу, топології, ...). Поряд з класичними напрямками теорії динамічних систем (ергодичною теорією, топологічною динамікою, маловимірною, гладкою та комплексною динаміками) зявились зовсім нові - алгебраїчна та арифметична динаміки. Дисертаційна робота присвячена одному з сучасних напрямків теорії динамічних систем - топологічній динаміці (чи іншими словами, якісній теорії диференціальних та різницевих рівнянь), теоретичні основи якої заклали G. Дослідження в дисертації проводяться у кількох взаємно повязаних напрямках: маловимірна динаміка, мінімальні динамічні системи, топологічна ентропія та теорія хаосу. Основна частина результатів була отримана в ході виконання пятирічних тем відділу теорії динамічних систем Інституту математики НАН України ``Розвиток теорії динамічних систем та її застосування до вивчення еволюційних задач"" (номер держреєстрації 01.900014763), ``Теорія динамічних систем і дослідження процесів самоорганізації та детермінованого хаосу"" (номер держреєстрації 0198U003053), ``Топологічна динаміка і нескінченновимірні динамічні системи"" (номер держреєстрації 0101U000644).Такі системи, як правило, є первинними обєктами дослідження будь-яких динамічних систем, зокрема, топологічних динамічних систем, що задаються неперервними відображеннями компактних просторів в себе. Насправді довільне мінімальне відображення є майже відкритим (тобто, відображає будь-яку непорожню відкриту множину у множину з непорожньою внутрішністю), а якщо відображення навіть і відкрите, то воно обернене і, будучи неперервною самобієкцією хаусдорфового простору, є гомеоморфізмом. Завдяки цій теоремі вдається показати, що якщо f - мінімальне відображення, а A c X , то обидві множини f(A) і f^{-1}(A) мають деякі одинакові топологічні властивості з множиною Нагадаємо, що відображення f: X a X називають майже взаємно однозначним, якщо для довільного x з деякої G_?-щільної множини в X , card (f^{-1}(x))=1 . В означенні замість ``G_?-щільна"" можемо використовувати ``резидуальна"", тому що будь-яка G_?-щільна множина є резидуальною і довільна резидуальна множина (в деякому компактному метричному просторі) містить в собі G_?-щільну підмножину. Підсумуємо: існують компактні простори, що не допускають ніяких мінімальних відображень (інтервал, квадрат, 2-вимірна сфера), існують простори, що допускають мінімальні гомеоморфізми, але не допускають мінімальних необернених відображень (коло), і існують простори, що допускають обидві ситуації - мінімальні гомеморфізми та мінімальні необернені відображення (канторова множина, n-вимірні тори, n ? 2).У дисертаційній роботі закладено основи нових напрямків та розвязано ряд актуальних проблем теорії (дискретних) динамічних систем, що задаються неперервними відображеннями на компактних просторах. При дослідженні неперервних відображень компактних хаусдорфових просторів встановлено існування тісного звязку між їх мінімальністю, оберненістю та відкритістю. Введено поняття мінімального простору - простору, який допускає існування мінімального відображення (гомеоморфізму). Доведено існування компактних хаусдорфових просторів, які допускають існування мінімальних необернених неперервних відображень, але не допускають мінімальних гомеоморфізмів (більше того, мають властивість нерухомої точки для довільного гомеоморфізму). Зокрема, введено та вивчено новий клас динамічних систем, що певною мірою близький за властивостями до дистальних - майже дистальні динамічні системи (системи, що не мають так званих пар точок Лі-Йорка).
План
Основний зміст роботи
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
