Топологічні властивості функцій і векторних полів на маловимірних многовидах - Автореферат

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР ім. Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор Офіціні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Харьків, завідувач відділу геометрії доктор фізико-математичних наук, професорДисертаційна робота належить до того розділу топології, тематика та методи якого повязані з таким питанням: коли два шарування з особливостями, що задані на многовидах, є топологічно еквівалентними, тобто коли існує гомеоморфізм многовидів, що відображає шари на шари? Під шаруванням з особливостями мається на увазі представлення многовида у вигляді обєднання шарів, що є підмноговидами меншої, фіксованої, розмірності і точок, які називаються особливостями. Шарування з особливостями можуть задаватися функціями, векторними полями (або потоками), диференціальними формами та ін. Оскільки топологічні властивості векторних полів часто визначаються їх поведінкою на деяких підмножинах (наприклад на обєднанні стійких многовидів, розмірність яких менша за розмірність многовиду), то виникає питання: як узагальнити поняття індексу векторного поля на таких множинах. В дисертаційній роботі: за допомогою розкладів на ручки з комірами встановлено критерій топологічної еквівалентності функцій Морса, дана топологічна класифікація векторних полів Морса-Смейла на тривимірних многовидах, дані локальна і глобальна топологічні класифікації функцій з ізольованими критичними точками на замкнених поверхнях, дані локальна класифікація функцій з ізольованими критичними точками в тривимірному просторі та глобальна класифікація функцій з трьома та чотирма критичними точками на тривимірних многовидах, дана топологічна класифікація m-функцій та m-полів на дво-та тривимірних многовидах, доведені пряма та обернена теореми про суму індексів потоку на стратифікованій множині, що є узагальненням теореми Пуанкаре-Хопфа для многовидів, дана глобальна класифікація відображень Уітні замкненої поверхні на площину, дані топологічні класифікації градієнтноподібних дифеоморфізмів Морса-Смейла на тривимірних многовидах, круглих функцій Морса на тривимірних многовидах, диференціальних морсовських форм на поверхнях та функцій Морса зі скінченним числом особливостей на площині.У першому підрозділі першого розділу наводяться означення та відомі факти з теорії динамічних систем Морса-Смейла; у другому підрозділі - з топологічної еквівалентністі динамічних систем; у третьому - з теорії Морса; у четвертому - з еквівалентності функцій та відображень; у пятому - з теорії Смейла розкладів на ручки; у шостому - з діаграм Хегора; у сьомому - з діаграм Кірбі; у восьмому - з круглих функцій Морса; у девятому - з теорії замкнених 1-форм Морса; у десятому - теорема Пуанкаре-Хопфа та обернена до неї; у одинадцятому - з теорії стратифікованих множин Уітні. Розкладом на ручки з комірами називається послідовність вкладень М0IM?0IM1IM?1IM2I...IMN =M таких, що М0 є обєднання n-вимірних дисків (0-ручок), М?i виходить з Мі за допомогою приклейки коміра Ni?[0,1], де Ni=¶Mi, а Мі 1 виходить з М?i за допомогою приклейки ручок Hj, що не перетинаються. Розклади на ручки з комірами многовидів М та М" називаються ізоморфними, якщо існує гомеоморфізм між многовидами M і M", що переводить ручки в ручки, коміри в коміри, зберігаючи розбивку комірів на шари. Дві функції Морса будуть спряжені тоді і тільки тоді, коли з упорядкованого простого розкладу на ручки однієї функції можна одержати розклад на ручки, ізоморфний упорядкованому простому розкладу на ручки другої функції, за допомогою таких операцій: ізотопій у Lk вкладень середніх сфер з носієм у границі обєднання ручок з меншими номерами; Два розрізняючі графи назвемо еквівалентними, якщо існує ізоморфізм графів, що зберігає розбивку множини ребер на два набори, і такий, що при заміні букв у НСС першого графа відповідними буквами з другого графа у степені ±1, у залежності від орієнтації, вийде НСС еквівалентний НССУ другого графа.В дисертаційній роботі отримано такі основні результати: 1) за допомогою розкладів на ручки з комірами встановлено критерій топологічної еквівалентності функцій Морса; 2) дана топологічна класифікація векторних полів Морса-Смейла на тривимірних многовидах; 4) дані локальна класифікація функцій з ізольованими критичними точками в тривимірному просторі та глобальна класифікація функцій з трьома та чотирма критичними точками на тривимірних многовидах; 8) дані топологічні класифікації градієнтноподібних дифеоморфізмів Морса-Смейла на тривимірних многовидах, круглих функцій Морса на тривимірних многовидах, диференціальних морсовських форм на поверхнях та функцій Морса зі скінченним числом особливостей на площині.

Основний зміст дисертації