Створення апроксимаційних рівнянь, які б допускали можливість практичного розв’язання із визначенням числа усіх розв’язків. Обчислення характеристик рівнянь і параметрів ітераційних методів, що забезпечують виконання умов теорем існування і збіжності.
Аннотация к работе
Національна академія наук України Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукНаукові дослідження сучасних складних природничих явищ і процесів, що виникають у фізиці, хімії, біології, економіці, екології та інших областях діяльності людини реалізуються шляхом створення та дослідження їх математичних моделей. У багатьох випадках математичні моделі характеризуються нелінійними функціональними рівняннями (НФР), зокрема нелінійними інтегральними рівняннями (НІР) та системами нелінійних скалярних рівнянь (СНСР). Це пояснюється складністю задачі, оскільки, як відомо, НФР, в залежності від своєї структури, можуть мати один розвязок, скінчене чи нескінченне число розвязків або в розглядуваній області не мати їх взагалі, причому ні кількість розвязків ні місце їх розташування наперед не відомі. Процес розвязування таких рівнянь складається з двох етапів: відокремлення ізольованих розвязків та їх ітераційного уточнення. Основу цієї теорії складають дві теореми про звязок між точним рівнянням і послідовністю відповідних наближених рівнянь - так звані пряма теорема, що дозволяє на основі даних про точне рівняння встановити розвязність “наближеного” рівняння і збіжність наближеного розвязку до відповідного точного та обернена теорема, яка на основі даних про існування розвязку наближеного рівняння (при фіксованому значенні параметра апроксимації) дозволяє робити висновок про розвязність точного рівняння і близькість відповідних розвязків.Для знаходження центрів , куль будується послідовність нелінійних рівнянь більш простої структури, , , (2) де , що апроксимують рівняння (1), точні чи наближені розвязки яких будуть шуканими елементами , , а відповідні їм значення радіуса визначаються з умови, щоб у кулі існував єдиний розвязок рівняння (1). У теоретичному плані правомірність переходу від рівняння (1) до розвязання рівняння (2) забезпечує теорема про розвязність (2) (при довільному або достатньо великому ) за даними існування розвязку (1) і збіжність методу переходу до рівнянь (2) та обернена теорема про розвязність рівняння (1) за даними існування (при допустимому фіксованому ) розвязку (2). , кожна з яких містить єдиний розвязок рівняння (10), тобто справедлива теорема 2.6 існування єдиного розвязку рівняння (10) та збіжності відповідного ітераційного методу (3), побудованого для оператора . Тоді в залежності від констант умов (4), (5), які для рівняння (10) позначені через , , , та співвідношень між ними справедливі теорема 2.7, яка характеризує можливість реалізації ітераційних методів МНС, ММН та ММП уточнення розвязків СНСР і визначає область їх застосування та теорема 2.8, що визначає співвідношення між собою параметрів, які характеризують швидкості збіжності ММН та ММП. Теорема 3.1 Нехай - один з розвязків рівняння (11), оператори і задані формулами (11), (12) є двічі неперервно диференційовні за Фреше в кулі , їх похідні , , , мають вигляд (16)-(19); в кулі виконуються умови апроксимації операторів , , операторами , , з функціоналами , , , які відповідно мають вигляд (25)-(27); для оператора в кулі виконуються умови (28), (29), а для мають місце оцінки (30)-(32).Дисертаційна робота присвячена питанням точності та обчислювальної складності комбінованого методу глобального наближеного розвязування нелінійних функціональних рівнянь, зокрема систем нелінійних скалярних рівнянь та нелінійних інтегральних рівнянь зі степеневою нелінійністю.