Точність наближених методів розв"язування абстрактної задачі Коші - Автореферат

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИАвтореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Макаров Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу обчислювальної математики Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Горбачук Мирослав Львович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними кандидат фізико-математичних наук, доцент Лазурчак Ігор Іванович, Дрогобицький державний педагогічний університет імені І. Захист відбудеться “3 ”жовтня 2006 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м.Разом з тим відомі початково-крайові задачі для рівнянь математичної фізики допускають абстрактні операторно-диференціальні постановки, наприклад, у формі задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь першого і другого порядків у банаховім просторі з необмеженими операторними коефіцієнтами. Городецького (1984) побудовано поліноміально-операторні наближення напівгрупи збіжні до неї на аналітичних векторах оператора Експоненціально збіжні наближення розвязків рівняння за допомогою операторних поліномів знайдені О. Макарова запропоновано й розвинуто техніку, відому як метод перетворення Келі, основними рисами якої є: декомпозиція еволюційної задачі на послідовність стаціонарних задач (виключається, таким чином, часова змінна), автоматична залежність швидкості збіжності від регулярності точного розвязку (а відтак ідеться про методи без насичення точності), можливість одержати наближений розвязок в аналітичній формі засобами компютерної математики тощо. Робота виконувалась відповідно до загального плану досліджень відділу обчислювальної математики Інституту математики НАН України в рамках науково-дослідницьких тем “Чисельно-аналітичні методи розвязування диференціальних рівнянь з необмеженим операторним коефіцієнтом та обробка інформаційних даних” (№ державного замовлення 0101U000371, 2001-2005 рр.) і “Методи теорії наближень та чисельні методи для дослідження та керування нелінійними фізичними процесами в реальних неоднорідних середовищах” (№ державного замовлення 0105U000773, 2004-2005 рр.). Одержано нову інтегральну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі наближеного розвязування задачі Коші для рівняння першого порядку в гільбертовім просторі у випадку скінченної гладкості початкового вектора та встановлено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком.Підрозділ 3.1 присвячений дискретизації задачі Коші де-самоспряжений додатно визначений оператор, що діє в гільбертовім просторі і має щільну в область визначення Відомо, що при розвязок задачі (1) зображується рядом де-довільна додатна стала,-поліноми Лагерра,-перетворення Келі оператора-тотожний оператор). Нехай-діючий у гільбертовім просторі самоспряжений додатно визначений оператор зі щільною в областю визначення і Тоді при точність методу перетворення Келі (3)-(4) характеризується нерівністю зі сталою не залежною від і Для доведення майже непокращуваності оцінки (6) достатньо вказати оператор і початковий вектор для яких виконані вимоги теореми 1, а похибка методу перетворення Келі (3)-(4) оцінюється знизу так само, як і в нерівності (6). Нехай оператор задовольняє умови теореми 1 і має дискретний спектр причому Тоді для всіх виконується нерівність тобто оцінка (6) майже (з точністю до логарифма) непокращувана за порядком Нехай оператор діє в гільбертовім просторі і має щільну в область визначення Тоді при і метод перетворення Келі (3)-(4) має експоненціальну швидкість збіжності і його точність для всіх характеризує оцінка Нехай оператор задовольняє умови теореми 3 і має дискретний спектр Тоді при для всіх справджується нерівність тобто оцінка (7) непокращувана за порядкомВ дисертації досліджено відомі та побудовано нові ефективні алгоритми розвязування задачі Коші для операторно-диференціальних рівнянь першого й другого порядків у гільбертовім і банаховім просторах. У випадку скінченної гладкості початкового вектора задачі Коші для рівняння першого порядку в гільбертовім просторі із самоспряженим додатно визначеним щільно заданим оператором одержано нову інтегральну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі та доведено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком де-кількість доданків часткової суми ряду, що зображує точний розвязок задачі Коші. Для цієї ж задачі при початковому векторі з простору Румє доведено експоненціальну швидкість збіжності методу перетворення Келі, а для оцінки його точності показано непокращуваність за порядком. Доведено нову поліноміальну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі для наближення операторного косинуса в гільбертовім просторі при та встановлено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком.

Основний зміст дисертації