Теория вероятности и особенности ее применения - Лекция

Представленный материал рассчитан на студентов, знакомящихся с вероятностными методами описания и анализа случайных явлений, которые составляют основу математических моделей общетехнического курса "Надежность технических систем". Особенность теории вероятностей состоит в том, что она рассматривает явления, где в той или иной форме присутствует неопределенность. Поэтому существует представление, что вероятностные методы решения практических задач считаются менее предпочтительными, чем "точный" анализ, т.к. обращаться к этим методам вынуждает якобы отсутствие достаточно полной информации. Безусловно, нельзя отрицать закон Ома, однако на микроуровне происходящих процессов он не выполняется - факт, который очевиден любому, кто когда-нибудь подключал резистор большого номинала к входу усилителя с высоким коэффициентом усиления и слышал шумы, появляющиеся в результате этого на выходе. Типичными примерами таких систем являются электроэнергетические сети, нагрузки которых непредсказуемы и варьируются в широких пределах; телефонные системы, число пользователей которых случайным образом меняется во времени; электронные системы, параметры которых носят случайный характер, изза того, что характеристики полупроводниковых приборов устанавливаются диапазоном возможных значений.Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события. Множества обозначаются по-разному: или одной большой буквой или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках, или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества и является случайным событием, т.е. любое событие А - это подмножество множества : А . В общем случае, если множество содержит n элементов, то в нем можно выделить 2n подмножеств (событий).В прикладных задачах основными являются не прямые, а косвенные методы вычисления вероятностей интересующих нас событий через вероятности других, с ними связанных. Для этого нужно уметь выражать интересующие нас события через другие, т.е. использовать алгебру событий. Сумма или объединение событий А1, А2, …, An - такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте хотя бы одного из событий А1, А2, …, An. Сумма обозначается: (1) где - знак логического сложения событий, - знак логической суммы событий. Суммой (объединением) событий А1 и А2 является событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий (заштрихованная область на рис.2, а).Сопоставим каждому событию А число, называемое, как и прежде, его вероятностью и обозначаемое P (A) или P{A}. Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям или аксиомам: P () = 1; P () = 0. Аксиому (8) можно обобщить на любое конечное число несовместных событий {Аі }n i=1: (9) С помощью аксиом можно вычислить вероятности любых событий (подмножеств пространства ) с помощью вероятностей элементарных событий. На практике они определяются либо из соображений, связанных с возможными исходами опыта (например, в случае бросания монеты естественно считать вероятности выпадения орла или решки одинаковыми), или на основе опытных данных (частот).Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью вероятностей более простых, пользуясь основными правилами (теоремами): сложения и умножения вероятностей.Эта теорема непосредственно следует из аксиомы сложения вероятностей (8).Вероятность произведения (совместного появления) двух событий А1 и А2 равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло: (15) В случае, если события А1 и А2 независимы, то соответствующие условные вероятности поэтому теорема умножения вероятностей принимает вид Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о повторении опытов (схема Бернулли): опыты считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Содержание

II.1. Применение теории вероятностей в технике

II.2. Основные понятия

II.2.1 Основы теории множеств

II.2.2 Алгебра событий

II.2.3 Аксиомы теории вероятностей

II.2.4 Основные правила теории вероятностей

II.2.4.1 Теорема сложения вероятностей

II.2.4.2 Теорема умножения вероятностей

II.2.5 Формула полной вероятности и формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

II.2.5.1 Формула полной вероятности

II.2.5.2 Формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

II.1. Применение теории вероятностей в технике

Основные понятия и краткие сведения из теории вероятностей: