Теоретичні основи для реалізації розділу "Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних" курсу математичного аналізу за допомогою комп’ютерних технологій - Дипломная работа

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Тернопільський національний педагогічний університет ім. Теоретичні основи для реалізації розділу “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних” курсу математичного аналізу за допомогою компютерних технологійУ час активного наукового розвитку, актуальною є проблема вибору таких засобів навчання, які б давали найкращі результати. Перехід на кредитно-модульну систему, дав поштовх до використання навчально-методичного забезпечення, основу якого складають електронні підручники. Метою дипломної роботи є підбір матеріалу для написання електронного підручника з деяких розділів курсу математичного аналізу, що сприяє підвищенню ефективності самостійної роботи студентів та створення відповідного посібника. У ході виконання дипломної роботи нами створений такий навчальний посібник, який містить розділи “Елементи функціонального аналізу” та “Диференціальне числення функцій багатьох змінних”. В існуючих підручниках з математичного аналізу є різні підходи до висвітлення одних і тих же питань, що викликає певні труднощі.Причому в деяких випадках для послідовності одних і тих же обєктів, в звязку з різними задачами, вводяться різні поняття границі. Всі ці поняття збіжності мають те спільне, що збіжність послідовності елементів {хп} до елемента х0 означає необмежене “наближення” хп до х0, необмежене зменшення “відстані” між цими елементами, коли номер п необмежено зростає. В залежності від того, як ми розуміємо відстань між елементами хп і х0, ми отримаємо різні означення границі. Тоді є зручним для деяких множин елементів дати загальне поняття відстані між елементами, а потім ввести за допомогою цієї відстані поняття границі.Надалі ми будемо використовувати поняття лінійної системи, яке розглядалося в лінійній алгебрі. Непорожня множина ? називається лінійною системою над полем Р, дійсних чисел, якщо: I.Для будь-яких двох елементів XIR і YIR є однозначно визначений третій елемент z=x y, який називається їх сумою, причому 1) х у=у х (комутативність додавання), 2) х (у z)=(x y) z (асоціативність додавання). II.Для будь-якого дійсного числа a і будь-якого елемента XIR існує і притому єдиний елемент ах, який називається добутком елемента х на число a, причому (a і b - числа, х, у - елементи): 3)a(bx)=(ab)х (асоціативність множення), 4)1.х=х, 5)а(х у)=ах ау (дистрибутивність множення III.Існує такий елемент QIR, який називається нульовим, що 7) 0х=q для будь-якого XIR. Лінійний система Х називається лінійним нормованим простором, якщо ставиться у відповідність дійсне число , яке задовільняє наступним умовам: 1) ?0, причому =0 тоді і тільки тоді, коли ;Нехай маємо лінійну систему Х. Говорять, що на лінійній системі Х введено скалярний добуток, якщо будь-якій парі елементів і із цієї системи ставиться у відповідність дійсне число , яке задовільняє наступним умовам: 1)(х,у)=(у,х); 3) для довільного дійсного числа і довільних виконується рівність (ах,у)=а(х,у); Нехай Х - лінійна система , на якій введено скалярний добуток. Розглянемо скалярний добуток де ? - довільне дійсне число.Розглянемо множину, елементами якої є упорядковані набори n дійсних чисел . Якщо суму елементів і визначимо рівністю , а добуток , де - рівністю , і за нульовий елемент приймемо , то дана множина стане лінійною системою. Простір, елементами якого є упорядковані набори п дійсних чисел , а відстань між елементами , визначається рівністю , називається простором . Якщо за добуток дійсного числа на елемент х із цієї множини приймемо послідовність , а за нульовий елемент приймемо , то дана множина стане лінійною системою. Простір, елементами якого є послідовності дійсних чисел, які задовольняють умову , а відстань між елементами і визначається формулою називається простором .Кулею з центром в точці , радіуса r, в метричному просторі Х називається множина точок цього простору, які задовільняють умови: . Іноді вживають поняття замкненої кулі з центром в точці і радіусом r - це множина точок метричного простору, для яких виконується нерівність . Як ми бачимо, означення границі послідовності в метричному просторі, аналогічне означенню границі послідовності дійсних чисел (Якщо , то ). Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Якщо послідовність має границю, , то і будь-яка її підпослідовність має границю .Нехай маємо метричний простір Х, і Е - множина цього простору, х0IX - точка простору Х. Точка , називається граничною точкою множини Е, якщо в будь-якому околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини Е, відмінна від . Точка , називається граничною точкою множини Е, якщо в будь-якому околі цієї точки міститься нескінченна множина точок множини Е. Припустимо, що гранична точка множини Е згідно означення 1.1 і не є граничною згідно означення 1.2. Для того, щоб точка була граничною точкою множини Е, необхідно і достатньо, щоб існувала збіжна до послідовність попарно різних і відмінних від точок .Множина всіх точок дотику множини , називається замиканням даної множини.