Свойства и признаки сходимости - Доклад

Министерство труда, занятости и социальной защиты РТДалее рассмотрим стандартные ряды, такие как гармонический ряд, обобщенно гармонический ряд, вспомним формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. После этого перейдем к свойствам сходящихся рядов, остановимся на необходимом условии сходимости ряда и озвучим достаточные признаки сходимости ряда.В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q =-0.5: . называют общим членом числового ряда или k-ым членом ряда. Частичные суммы образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда. Для нашего ряда n-ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся. Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд , причем , где Числовой ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся при s > 1, а в силу второго свойства сходящихся числовых рядов будет сходится и ряд с числовым коэффициентом .Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: . При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если , то ряд расходится.Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна. Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть , разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 - 3 =-1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членомЕсли , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Исследуйте числовой ряд на сходимость по признаку Даламбера. Воспользуемся признаком Даламбера: Таким образом, ряд сходится.Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Исследовать знакоположительный числовой ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале , где ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. При проверке убывания функции y = f(x) на интервале Вам может пригодится теория из раздела возрастание и убывание функции. Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как .Если , то числовой ряд расходится, если , то ряд сходится.Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.Если ряд расходится, то соответствующий знакопеременный ряд может, либо расходится, либо сходится условно. Только признак Даламбера и радикальный признак Коши позволяют сделать вывод о расходимости знакопеременного ряда по расходимости ряда из модулей . Ряд также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если . Исследуем ряд на сходимость по признаку Даламбера: . Следовательно, ряд расходится и можно утверждать, что исходный знакопеременный числовой ряд тоже расходится.Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают и предел модуля общего члена ряда равен нулю при , то ряд сходится.

Содержание

Введение

1. Основные определения и понятия

2. Свойства сходящихся числовых рядов

3. Необходимое условие сходимости ряда

4. Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда

5. Первый, второй и третий признаки сравнения

6. Признак Даламбера

7. Радикальный признак Коши

8. Интегральный признак Коши

9. Признак Раабе

10. Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость

11. Расходимость знакопеременных рядов

12. Достаточные признаки условной сходимости числового ряда