Структурні теореми для *-алгебр, породжених наборами проекторів - Автореферат

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Островський Василь Львович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу функціонального аналізу. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент Кругляк Станіслав Аркадійович, Інститут підготовки кадрів зовнішньої розвідки України, професор; кандитат фізико-математичних наук, доцент Подколзін Гліб Борисович, Навчально-науковий комплекс “Інститут прикладного системного аналізу” в структурі НТУУ “КПІ”, доцент. Захист відбудеться “25” грудня 2007 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м.Нескінченновимірне узагальнення цієї теореми - це спектральна теорема Гільберта-Шмідта-Вейля-фон Неймана про розклад самоспряженого оператора у прямий інтеграл, яка дає опис структури оператора з точністю до унітарної еквівалентності. Разом з тим, у деяких випадках, набори самоспряжених операторів, що задовольняють деяким співвідношенням, можуть бути описані за допомогою спектральної теореми, аналогічної випадку одного оператора (Дж. фон Нейман, М.Г. Для дослідження цієї задачі зручно використовувати мову *-алгебр та їх зображень: вивчати найпростіші, із точністю до унітарної еквівалентності, зображення відповідного співвідношення, тоді опис загальних наборів можна отримати як пряму суму (чи прямий інтеграл) найпростіших. Застосувавши до кожної твірної спектральний розклад, ці алгебри можна розглядати як *-алгебри, породжені наборами проекторів. Метою роботи є дослідження класу інволютивних алгебр, повязаних із зірчастими графами; дослідження та опис множин параметрів, при яких існують *-зображення таких алгебр; дослідження взаємозвязків між незвідними зображеннями таких алгебр та транзитивними системами підпросторів у скінченновимірному гільбертовому просторі.Розглянуто клас інволютивних алгебр, асоційованих із зірчастими графами та проведено огляд останніх результатів стосовно *-зображень таких алгебр.Задачу можна сформулювати на мові *-алгебр та *-зображень: розглядається асоціативна, комплексна *-алгебра , що породжена четвіркою проекторів та співвідношенням (1): (2) Опис множини параметрів (позначатимемо її ), при яких алгебра має хоча б одне *-зображення, і є метою другого розділу. Виявилося, що множина містить нескінченну множину значень параметра тоді і тільки тоді, коли Справедливою є теорема: Теорема 2.1.2 Множина містить нескінченну множиною з граничною точкою тоді і тільки тоді, коли . Повний опис множини дає наступна теорема: Теорема 2.3.1 Множина тих , при яких алгебра має зображення, описується формулою: ? = ? ?0 ?1 ?i2 ?3 ?4 ?j5 де То - скінченновимірна, якщо граф Г - розширений (евклідовий) граф Динкіна типу то алгебра - нескінченновимірна поліноміального росту, і нарешті коли Г - ні граф Динкіна, ні розширений граф Динкіна, то алгебра містить вільну алгебру з двома самоспряженими твірними (в цьому випадку задача 2 може виявитися дуже складною).У дисертаційній роботі досліджено структурні особливості інволютивних алгебр, асоційованих з розширеними графами Динкіна. Отримано повний опис множини параметрів, при яких існують четвірки проекторів у деякому гільбертовому просторі, такі що їхня лінійна комбінація дорівнює скалярному оператору. Для *-алгебр, повязаних з розширеними графами Динкіна, досліджено структуру множини параметрів, при яких існує *-зображення таких алгебр. Отримано необхідні та достатні умови, за яких такі множини нескінченні. Отримано необхідні та достатні умови, за яких усі транзитивні системи з 4-x підпросторів у скінченновимірному гільбертовому просторі породжуються четвірками лінійно повязаних проекторів.

2. Основний зміст