Структурні теореми *-алгебр, породжених наборами ортопроекторів - Автореферат

Національна академія наук України Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукЗ дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України. У дисертаційній роботі проведено дослідження *-алгебр, асоційованих із зірчастими графами. Для графа отримано повний опис множини параметрів, за яких відповідна алгебра має *-зображення. В первой главе изложены основные положения теории представлений *-алгебр, дается формальное описание алгебр, ассоциированных со звездными графами, и проводится построение функторов Кокстера, которые используются для построений всех неприводимых *-представлений исследуемых алгебр. Для соответствующей алгебры получено полное описание множества параметров, при которых существуют *-представления, описано множество возможных векторов обобщенной размерности, установлены условия, при которых существуют представления такой алгебры в граничном случае.Нескінченновимірне узагальнення цієї теореми - це спектральна теорема Гільберта-Шмідта-Вейля-фон Неймана про розклад самоспряженого оператора у прямий інтеграл, яка дає опис структури оператора з точністю до унітарної еквівалентності. Разом з тим, у деяких випадках, набори самоспряжених операторів, що задовольняють деяким співвідношенням, можуть бути описані за допомогою спектральної теореми, аналогічної випадку одного оператора (Дж. фон Нейман, М.Г. Для дослідження цієї задачі зручно використовувати мову *-алгебр та їх зображень: вивчати найпростіші, із точністю до унітарної еквівалентності, зображення відповідного співвідношення, тоді опис загальних наборів можна отримати як пряму суму (чи прямий інтеграл) найпростіших. Застосувавши до кожної твірної спектральний розклад, ці алгебри можна розглядати як *-алгебри, породжені наборами проекторів. Метою роботи є дослідження класу інволютивних алгебр, повязаних із зірчастими графами; дослідження та опис множин параметрів, при яких існують *-зображення таких алгебр; дослідження взаємозвязків між незвідними зображеннями таких алгебр та транзитивними системами підпросторів у скінченновимірному гільбертовому просторі.Розглянуто клас інволютивних алгебр, асоційованих із зірчастими графами та проведено огляд останніх результатів стосовно *-зображень таких алгебр.Задачу можна сформулювати на мові *-алгебр та *-зображень: розглядається асоціативна, комплексна *-алгебра , що породжена четвіркою проекторів та співвідношенням (1): (2) Опис множини параметрів (позначатимемо її ), при яких алгебра має хоча б одне *-зображення, і є метою другого розділу. Виявилося, що множина містить нескінченну множину значень параметра тоді і тільки тоді, коли Справедливою є теорема: Теорема 2.1.2 Множина містить нескінченну множиною з граничною точкою тоді і тільки тоді, коли . Можна поставити аналогічну задачу для довільної ваги , повязуючи з нею *-алгебру, породжену набором з n проекторів: Задача опису множини , у випадку якщо , досліджувалася у роботах С.А. То - скінченновимірна, якщо граф Г - розширений (евклідовий) граф Динкіна типу то алгебра - нескінченновимірна поліноміального росту, і нарешті коли Г - ні граф Динкіна, ні розширений граф Динкіна, то алгебра містить вільну алгебру з двома самоспряженими твірними (в цьому випадку задача 2 може виявитися дуже складною).У дисертаційній роботі досліджено структурні особливості інволютивних алгебр, асоційованих з розширеними графами Динкіна. Отримано повний опис множини параметрів, при яких існують четвірки проекторів у деякому гільбертовому просторі, такі що їхня лінійна комбінація дорівнює скалярному оператору. Для *-алгебр, повязаних з розширеними графами Динкіна, досліджено структуру множини параметрів, при яких існує *-зображення таких алгебр. Отримано необхідні та достатні умови, за яких такі множини нескінченні. Отримано необхідні та достатні умови, за яких усі транзитивні системи з 4-x підпросторів у скінченновимірному гільбертовому просторі породжуються четвірками лінійно повязаних проекторів.

Основний зміст